No.6ベストアンサー
- 回答日時:
さきの回答の下ごしらえまで理解できたって前提で続きです。
(X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n)/n → a
をε-δ(数列の収束だからε-Nの方)で示すってことは、
nが大きいとき
|(X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n)/n - a | < ε
を示すってこと。
ε-Nでの記述は、
X_n→a なので、任意のε>0に 対して、ある自然数n0が存在して、
n0<nとなるnに対して、|X_n-a |<ε/2 とできる。
・・・ここで、”<ε”ではなく、”<ε/2” とεの半分を使っているのは「下ごしらえを踏まえた先の見通し」ってヤツです。
ここで、下ごしらえに沿って式変形して、
|(X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n)/n - a |
=|((X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n)-na)/n
=| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・・・・+(X_n-a))/n|
・・・・ここで、n0までとn0以降の前半、後半に分ける
=| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0-a)+(X_(n0+1)-a)+・・・+(X_n-a))/n|
・・・・ここで、前半と後半を分離する。絶対値を外すとき不等号になることに注意、三角不等式ってヤツ。
≦| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0-a))/n|+|((X_(n0+1)-a)+・・・+(X_n-a))/n|
<| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0-a))/n|+ (ε/2)*(n-n0)/n
<| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0-a))/n|+ε/2
ここで、第1項の分子側の
((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0-a))は、有限項の和なので上界Mを持つ。
したがって、ある自然数n1が存在して、
n1<n ならば、M/n<ε/2 となるようなn1が存在する。
・・・・この定理は、実数のアルキメデス性ってヤツで使ってよい定理です。証明は"実数の定義に従い・・"。
・・・・なお、ここも”<ε”ではなく、”<ε/2”にしてます。種明かしはもうすぐ。
以上より、max(n0,n1)<nなるnに対して、
|(X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n)/n - a |
<| ((X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-a)+・・・+(X_n0-a))/n|+ε/2
<ε/2+ε/2=ε
・・・ここで、それぞれあえて”<ε/2”にした理由がわかるというオチでした。
以上、そうとう、細かくしつこく書いてみました。
シナリオの流れを十分に理解できたら、適宜はしょって記述すればよいでしょう。
大学入って最初にε-δに触れたときって「概念に関する理解」だけでなく、「お作法に沿った記述の仕方(スイングフォームのようなもの)」の両方を覚えないといけないので頑張ってください。
おお・・・ありがとうございます!他で調べたよりはるかに分かりやすい解説でした!これを参考にして課題がんばってみます。
丁寧に教えてくれて本当にありがとうございます!
No.5
- 回答日時:
lim_{n→∞}x_n=a
だから
任意の正数ε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|(x_n)-a|<ε/2
だから
n_1>n_0+2Σ_{k=1~n_0}|(x_k)-a|/ε
となる自然数n_1が存在し
Σ_{k=1~n_0}|(x_k)-a|/n_1<ε/2
だから
n>n_1となる任意の自然数nに対して
|Σ_{k=1~n}{(x_k)/n}-a|
=|Σ_{k=1~n}{(x_k)-a}/n|
≦Σ_{k=1~n}|(x_k)-a|/n
=Σ_{k=1~n_0}|(x_k)-a|/n+Σ_{k=n_0+1~n}|(x_k)-a|/n
<Σ_{k=1~n_0}|(x_k)-a|/n_1+(n-n_0)(ε/2)/n
<(ε/2)+(ε/2)
=ε
∴
lim_{n→∞}Σ_{k=1~n}x_k/n=a
No.4
- 回答日時:
んーー。
結構、微妙な理解の仕方ですねぇ。本当にわかっているかがわからないといった感じが伝わってきます。
えっと、
n→∞のときX_n→a だから 結構先のほうのX_nは、「ほとんどaに近い」「ほとんどaと同じ」って感じなのはOK?
だから、手前の方はまぁ別にしても、先の方では大体aってことは
X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n って
X_1+X_2+X_3+・・・+X_m+a+a+a+a・・・+a に大体近くなるわけ。OK?
(補足にあるような、X_nに近づくってんじゃなくて、「aに近づく」っていう理解が良いよね)
高校生的な直感表現でいえば
(X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n)/n
≒(X_1+X_2+X_3+・・・+X_m+a+a+a+a・・・+a)/n
≒(X_1+X_2+X_3+・・・+X_m)/n + (a+a+a+a・・・+a)/n
≒ M/n + (a+a+a+a・・・+a)/n
で、 M/n→0
(a+a+a+a・・・+a)/n →a
だから
(X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n)/n →a って感じ。ここまではOK?
--
ε‐δでいえば、
X_n→a ってことは、
適当な(小さ目の)正数εに対して(きっと大き目の整数の)mがあって、
項番mより先のX_nはほとんどaと同じ。具体的には |X_n - a| < ε とできる。
1項からn項までの和である、X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_nを
前半のm項と、その後ろに分けて考えると、
項番mまでの、1項からm項までを
X_1+X_2+X_3+・・・+X_mの部分は
(X_1-a)+a+(X_2-a)+a+(X_3-)+a+・・・+(X_m-a)+a
=(X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-)+・・・+(X_m-a)+m*a
って書き換えてみると
(X_1-a)+(X_2-a)+(X_3-)+・・・+(X_m-a)の部分を定数Mだと置くと
X_1+X_2+X_3+・・・+X_m
=M + m*a
(えっと、前半の各項は、aから結構離れていたりするのがいたりするけど、その「ズレ」「誤差」を全部まとめても
せいぜい有限のズレがm項分しかないからその和をMという定数で表現できるってことです。OK?)
後半の部分は、ほとんどaに近い数を繰り返し足し算しているので、
X_(m+1)+X_(m+2)+・・・・・・+X_n
<|a+ε|+|a+ε|+|a+ε|+・・・+|a+ε|=(n-m)|a+ε|
ということは、
X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n
=M+m*a +X_(m+1)+X_(m+2)+・・・・・・+X_n
<M+m*a +(n-m)(a+ε)=M+n*a+|n-m|ε
nで割った与式は、
(X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n)/n
< M/n + a + |n-m|ε/n
でnを大きくすれば1項と3項は0に近づくから2項のaだけ残って極限がaになるんだけど、
ε‐δ(ε‐m)で記述するには、ここまで下ごしらえをしておいてから、
逆算的に、改めてεを与えてからどんなmにすれば良いかを考えることになる。
---
と、ここまで、だらだらと思考の流れを書いたけど、ここまではOK?
疲れたから続きはあとで。
私のために解説ありがとうございます!
なるほど場合分けをするのですか!
ところで|X_n - a| < εということはほぼ0 < εであるということでいいんですよね?
No.3
- 回答日時:
この命題の正しさが直観的にはわからない。
この命題が正しいことは感覚的にはわかるがε‐δ論法での記述方法がわからない。
--
もし前者であるなら、
日本語で説明できないことを英語で説明するようなもので、「そもそも無理」です。
(単純な式変形で機械的に記述できる!という見解もあるのでしょうけどね。いまは、無理です)
もし後者であるのなら、
あなたの言葉で(ε‐δ論法ではなく、日常的な日本語で)、数学の不得意な高校生にこの式の極限がaになることをしっかり詳しく説明するとしたらどのようになるか書いてくれたら・・・、答えを記載する気になるかも。
っていうか、、いま、ε‐δでの回答をしても、日本語で理解できないことは英文を読んでももっとわからないのといっしょで「無駄」ってことになりますからね。
--
本屋さんで探せばこの辺の入門書に答えが載っているのは間違いないので、そもそも、こんな回答もどきは無視して、参考書を見るのも一法です。
この回答への補足
n→∞のときX_n→aならば、X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n/n→a
であることを証明せよ。
まず、x_1+x_2+x_3+.....+x_nはxがn個あるため=n*x_nとする。
次にx_1+x_2+x_3+.....+x_n/n=n*x_n/nとなる。
n*x_n/n=aでnを約分してx_n=aとなり、n→∞のときX_n→aならば、X_1+X_2+X_3+・・・・・・+X_n/nはaに限りなく近ずくことが証明された。
これで合ってますか?
No.2
- 回答日時:
これは有名な問題なので、まともな微積の教科書には載っているはずなので
調べましょう(私も長らくその回答の意味を理解できなかったのだが)。
この問題の類題というのはあまり考えられず、これを課題で出す教師に疑問を
感じます。この問題は多分ε‐δ論法でしか解くことができず、ε‐δ論法
のキモの1つです。だから、教師が、その意義とか意味をじっくり説明する
例題であるはずです(だから、まともな教科書には必ず回答がある)。
関係ないのだが、類題として最近、次の例を見た。
bk>0,Σbk→∞,ak→a ならば、(Σbk・ak)/Σbk→a
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