ガウスの法則

正電荷＋Qが一様に分布した半径Rの球の中に、質量m、負電荷-qの質点を静かに置くと、質点は単振動の運動を開始する。その周期を求めよ。

以下参考書の解説
　球の中心からr(<R)の距離の電場の強さをもとめる。
　電荷の密度をρとする。
　ρ=Q/(4πR^3/3)
　E=ρr/3ε=Qr/4πεR^3
　となり、………

ガウスの法則によると、E=Q/εだと思うのですが、なぜか解説には、E=ρr/3εとなっています。

わかりません。詳しい解説お願いします。

No.1 回答者： SKJAXN 回答日時： 2014/07/13 01:58

電磁気学におけるガウスの定理は、閉局面Sを通過する電束D（電気力線の総和）は、Sの内部にある電荷の総量Qに等しいとして、

∫DdS＝Q（ここで誘電率をε、電場の強さをEとすると、D＝εE）→（式1）
として定義されています。よって、球の中心からr(<R)の距離の電場強さEは（式1）より、
(4*π*r^2)*ε*E＝4/3*π*r^3*ρ（閉局面4*π*r^2を通過する電束＝閉局面の内部にある電荷の総量）より、
E＝ρ*r/(3*ε)　とまとめられます。
すなわちガウスの定理を、E＝Q/εと決めつけないようにして下さい（そもそもこの式では、物理量の次元が左辺、右辺で合っていません）。
例えば、電荷Qを与えられた面積Sの平板（平行平板コンデンサ等で使用される）の外部についてガウスの定理を当てはめると、平板から湧き出す電束は平板の法線方向のみですので、閉局面の面積は2*Sとなります。これより（式1）から、
(2*S)*ε*E＝Q
より、平板外部の電場の強さは、E＝Q/(2*ε*S)　と求められます。
すなわちガウスの定理を紐解くと、一意的に公式化されるものではなく、電荷を帯びた物体が生成する電気力線を収集する曲面積、曲面内部にある電荷の総量に応じて計算方法が異なることにご留意下さい。

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます。

お礼日時：2014/07/14 21:52

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/07/13 16:52

ガウスの法則の適用の仕方は ANO1 様のやりかたでよいのですが、

E=Q/εなんてどうして出てきたのでしょう？

とっても不思議です。

この手の問題は、電場が垂直で均一になる面を問題から見つけ出して

面に包まれる総電荷量/(εx 面の面積)＝電場(スカラー)

を計算するだけです。

ガウスの定理は概念的には非圧縮流体の流れを思い浮かべれば
イメージを理解しやすいです。
＃電束を単位面積当たりの水の流れに、電荷を水の湧き出しと考える。

そこをつかんでいれば、こんなとんちんかんな
答えは出せなくなります。

この回答へのお礼

なぜ、ρ=Q/(4πR^3/3)なんですか？

ρ=Q/(4πr^3/3)だと思うのですが？

お礼日時：2014/07/13 23:05

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/07/14 02:46

>なぜ、ρ=Q/(4πR^3/3)なんですか？

電荷Qが―様に分布する球の半径がRだからです。

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます。

お礼日時：2014/07/14 21:53