痔になりやすい生活習慣とは?

物理学で出題された連成運動の問題の解法がわかりません。
連成振動の問題では、固有値を用いて解くと教わったのですが、2つの運動方程式を
行列表示にできません。どの様に解けばよいのでしょうか。ご意見よろしくお願いします。

[問題]
左から「壁|バネ1+物体1+バネ2+物体2」となっている連成振動で、
物体1,物体2の質量をm1,m2、バネ1,バネ2のバネ定数をk1,k2、バネ1,バネ2の自然長をl1,l2
の条件のもと、1次元的に振動する運動をします。質点と床の間の摩擦や空気抵抗、バネの質量
は無視できるものとし、左端の壁からそれぞれの質点までの距離をx1,x2としてこの質点系の
力学的エネルギーの式を導け。

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A 回答 (3件)

NO2の続き。


ωが求まったら(欲しいのはω^2なんだけれど)
それを
 -m1ω^2・A = -(k1+k2)A + k2B
 -m2ω^2・B = k2A - k2B
に代入して、AとBの比を求める。
―――固有値から固有ベクトルを求める操作だね―――

ω^2は二つあるので、固有ベクトルも二つある。
ω^2の大きい方をω1^2、小さいのをω2^2とすると、
 y1 = A1sin(ω1t+φ1) + A2sin(ω2t+φ2)
 y2 = B1sin(ω1t+φ1) + B2sin(ω2t+φ2)
ω1^2の時の固有ベクトルがA1、B1
ω2^2の時の固有ベクトルがA2、B2
ね。

初期条件がないので、これ以上は解けません。

おどろおどろしいので、僕は解く気にはなりませんが(ポリポリ)。

なお、ω1とω2は正の値をとればいいです。
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この回答へのお礼

解く気はないと言いつつも、ここまでアドバイスしていただきありがとうございます。
回答通りに解いていくことで、無事答えにたどり着くことができました。
本当は答えだけ聞いて途中計算は自分で考えようと思っていたのですが、
こうして、答えにたどり着いてみると正直自分ひとりでは解決できなかったと思います。
私は、ネットを使っての質問の回数がまだ少なく、今回に至っては図をイメージしづらかった
と思いますが、そのような中で親切にアドバイスしていただきうれしく思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2014/08/01 23:45

ごめん、ごめん。


微分方程式を思い切り間違っている。

 m1d^2y1/dt^2 = -k1y1 + k2y2
 m2d^2y2/dt^2 = -k2y2
じゃなくて、
 m1d^2y1/dt^2 = -k1y1 + k2(y2-y1) = -(k1+k2)y1 + k2y2    (1)
 m2d^2y2/dt^2 = -k2(y2-y1) = k2y1 - k2y2        (2)
ですね。

最近、暑くてボケているんだ。

一番ダサい方法は、
 y1 = Asin(ωt+φ)
 y2 = Bsin(ωt+φ)
として、(1)式と(2)式に代入する。
すると、A、Bの連立方程式になります。
で、A=0、B=0という解を持たない条件、行列式=0を使いますと、ωの方程式が出来ます。

とりあえず、AとBの連立方程式を求めるところまでやってごらん。

たぶん、
 -m1ω^2・A = -(k1+k2)A + k2B
 -m2ω^2・B = k2A - k2B
となるはずだから。

 ○A + △B = 0
 ◇A + ▲B = 0
と整理して、
行列式
|○ △|
{◇ ▲}
= 0
を、ωについて解けばよい。
これで取りあえず、ω(角振動数)は求まります。
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問題がどこまで要求しているかが不明なのですが、


 運動エネルギーK = (1/2)m1(dx1/dt)^2 + (1/2)m2(dx2/dt)^2
 ポテンシャルエネルギーU = (1/2)k1(x1-l1)^2 + (1/2)k2(x2-x1-l)^2
で、よろしいんでしょうか。

微分方程式
 m1d^2x1/dt^2 = -k1(x1-l1) + k2(x2-x1-l2)
 m2d^2x2/dt^2 = -k2(x2-x1-l2)
を解いて、
そのx1とx2をエネルギーの式に代入するところまで要求しているのでしょうか・・・。
もし微分方程式を解きたいようならば、
 y1 = x1-l1
 y2 = x2-l1-l2
と置きますと、上記の微分方程式は
 m1d^2y1/dt^2 = -k1y1 + k2y2
 m2d^2y2/dt^2 = -k2y2
となって、解きやすくなります。
計算が面倒なので、わたしは解く気がありませんけれども、
計算、頑張って。

計算をする気はさらさらないですけれども、
途中まででもいいですから、
できた所までをお礼蘭や回答欄に書いていただければ、
添削や助言をすることくらいはしますよ。
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この回答へのお礼

アドバイスありがとうございます。
今回求められているのは、微分方程式の解を代入したものの様です。

アドバイスの通りに解いてみたのですが、
微分方程式を積分する時は、0~t[時間]で定積分すればよいのでしょうか?
それとも、不定積分でよいのでしょうか?
不定積分するときは、積分定数Cが2つ出てきますが、この運動の初期条件はどうなるのでしょうか?

たくさん質問して申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

お礼日時:2014/07/30 20:31

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MYb'' = -(k1 + k2)Yb
で大丈夫ですか?

・この振動の固有振動数と固有振動モードの求め方を教えてください。
検索したのですが、いまいち固有振動モードという考え方がわかりません。

Aベストアンサー

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左2つが,2つのモードが実現するような初期条件を選んだ場合。右端は,適当な初期条件を選んでモードの重ねあわせになっている場合です。

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辞書でpotentialって引いてみて下さい。
可能性を秘めた、潜在的な能力・・・
とあるはずです。


運動エネルギーに変わる可能性のある
エネルギーで、直接測定できないが
そこに潜在的(内面)に存在する
エネルギー一般のことで、
古典力学ではNo.1の方が言われて
いる位置エネルギーのことです。

自分のしている腕時計の位置エネルギーを
考えると、地上にいるときよりビルの上に
いるときのほうが、位置エネルギーは
大きいはずですが、そんな実感は普通ありません。
自由落下で運動エネルギーに変わってから
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高さとエネルギーの関係を表しているだけで、
実測するためには、運動エネルギーに
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されてますよね。暗黙のうちに
運動エネルギーへの変換をしているわけです。


ポテンシャルエネルギーは、必ず
運動エネルギーとの和で書かれて
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エネルギーがあると確信がもてるので、
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 運動エネルギーをK、ポテンシャルエネルギーをP
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複雑な式も

H=K+P
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H ハミルトニアン
L ラグラジアン
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P ポテンシャルエネルギー
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の原理で書かれていると分かって式を見ると
全体がよく見えると思います。

辞書でpotentialって引いてみて下さい。
可能性を秘めた、潜在的な能力・・・
とあるはずです。


運動エネルギーに変わる可能性のある
エネルギーで、直接測定できないが
そこに潜在的(内面)に存在する
エネルギー一般のことで、
古典力学ではNo.1の方が言われて
いる位置エネルギーのことです。

自分のしている腕時計の位置エネルギーを
考えると、地上にいるときよりビルの上に
いるときのほうが、位置エネルギーは
大きいはずですが、そんな実感は普通ありません。
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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
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そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
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(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
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の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
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Q変位電流ってなんですか!!!???

現在マクスウェルの方程式を勉強しています。

そこでアンペール・マクスウェルの方程式で、変位電流というものがでてきました。しかし、その教科書ではその名前のことしか教えてくれず、調べてもこれと言ったいいものがありません。

式の導出はいいから、結局変位電流ってなんなの?といった具合です。


教えていただけませんか?具体的にどういうものなのか、どういったときに見られる現象なのか?教えていただきたいです。

ちなみにいくつか調べた結果、変位電流は「実際には存在しない電流である」や「コンデンサで交流を流したときにでるものである」という情報を入手しています。


矛盾していて困っています。

Aベストアンサー

 平行板コンデンサーがあって交流電流が流れているとします。コンデンサーにつながる導線には電流(=電荷の移動)があり、導線の周囲には変動する磁場が生じます。コンデンサーの極板の間には移動する電荷が存在しないので電流がありませんが、では、極板間の空間(の周囲)には磁場は生じないのでしょうか。

 そこだけ磁場が発生しない、というのは不自然で、やはりそこにも磁場が生じるはずだと考え、磁場を生じる原因として電場の変化があると考えられたのだと思います。

 磁場を生じるので電流と同じ働きをするが、電荷の移動である普通の電流とは違う、ということで「変位電流」というような呼び方をするようです。
 ※なぜ位置の変化を表す「変位」という言い方をするのかは私にはよくわかりません。識者の回答を待ちましょう。

http://www.cqpub.co.jp/dwm/Contents/0083/dwm008301420.pdf

Q基準振動について質問です。

基準振動について質問です。

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この問題のヒント、また基準振動の解放を教えてください。

Aベストアンサー

※補足について

Ω = √(ω^2 ± a)

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Q金属、半導体の抵抗の温度変化について

金属は温度が高くなると抵抗が大きくなり、半導体は温度が高くなると抵抗が小さくなるということで、理論的にどうしてそうなるのでしょうか。
金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?
半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。
あと自分で調べていたところ「バンド理論」というのを目にしました。
関係があるようでしたらこれも教えて頂くとありがたいです。

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体の中において金属の自由電子に相当するものは、電子とホールです。この2つは電流を担う粒子ですので、「キャリア」(運ぶ人)と言います。
ホールは、半導体物理学においてプラスの電子のように扱われますが、その実体は、電子が欠けた場所のことを表す「穴」のことであって、おとぎ話の登場人物です。
電子の濃度とホールの濃度に違いがあったとしても、一定の温度においては、両者の濃度の積は一定です。
これは、水溶液において、H+ と OH- の濃度の積が一定(10^(-14)mol^2/L^2)であるのと実は同じことなのです。

中性の水溶液の温度が高くなると、H2O が H+ と OH- とに解離しやすくなり、H2O に戻る反応が劣勢になります。
それと同様に、真性半導体においても、温度が上がると電子とホールが発生しやすくなるのに比べて、両者が出合って対消滅する反応が劣勢になるため、両者の濃度の積は増えます。
キャリアが増えるので、電流は流れやすくなります。

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Qベクトル場の面積分に関してです

1.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (-2x, 2y, z)において、
  ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
    (条件:面積分と極座標を用いなければならない)

2.半球面S:x^2+y^2+z^2=9, z≧0上でのベクトル場f = (2x, 2y, z)において、
  ∬s f・dS を求めよ。ただし単位法線ベクトルnは上向きに取る。
    (条件:ガウスの発散定理を用いなければならない)

この2問がどうしても解けないので教えていただけないでしょうか?
特に、1.に関しては「式変形の流れ」、2.に関しては、閉局面として扱って計算した後に底辺を除く必要があるので「底辺の計算方法」だけでも教えていただけると有難いです。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑・n↑ dS
= r^3 ∫[0,π/2] dθ ∫[0,2π] dφ (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)
= 2π r^3 /3
= 18π.

2.
Sに底面を合わせたものをEとし,Eを表面とする体積領域をVとすると,
ガウスの発散定理より

∫[E] f↑・dS↑
= ∫[V] div f↑ dV
= ∫[V] 5 dV
= 18π×5
= 90π.

で,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ - ∫[底面] f↑・dS↑
なのですが,底面での単位法線ベクトルは明らかにz軸に平行であるのに対し,
底面においてz = 0ですから,f↑は底面において f↑ = (2x,2y,0)となり
z軸に対して垂直です.
すなわち,底面においてf↑とn↑とは垂直なのです:
f↑・n↑ = 0.

したがって
∫[底面] f↑・dS↑ = ∫[底面] f↑・n↑ dS = 0
であり,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ = 90π.

ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑...続きを読む


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