楕円面のパラメーター表示の問題

楕円面のパラメーター表示において0＜a＜b＜cと仮定します。以下の問ではxz平面との交わり(v=0,π)の各点において考えます。楕円面のパラメーター表示は
X(u,v)=
acosu・cosv
bcosu・sinv
csinu
で与えられます。

問1
(i)第1基本変形を計算してください。
(ii)単位法ベクトルがxz平面の含まれる事を確かめて、
(iii)さらにxz平面との交わりは測地線である事を確かめてください。


「問1の(ii)　単位法ベクトルがxz平面の含まれる事を確かめて
単位法ベクトルのy成分=0を示せば良いでしょう。

楕円面の陰関数表現

　x^2/a^2 +y^2/b^2 +z^2/c^2 = 1

の式の　全微分をとると

　(2x/a^2)dx +(2y/b^2)dy +(2z/c^2)dz = 0

楕円面とxz平面の交線上の点(a cos(m), 0, c sin(m)) (0≦m＜2π)における
法ベクトルは
　
　(cos(m)/a, 0, sin(m)/c)

絶対値=√(c^2cos^2(m)+a^2sin^2(m) )/(ac)で割って単位法ベクトルを求めると

　(c cos(m)/√(c^2cos^2(m)+a^2sin^2(m)), 0,
　　　　a sin(m)/√(c^2cos^2(m)+a^2sin^2(m)) )

となります。y成分がないので単位法ベクトルはxz平面の含まれるということになります。」

とあるご回答者さまからご回答いただきましたが、

〔質問〕楕円面とxz平面の交線上の点(a cos(m), 0, c sin(m)) (0≦m＜2π)における
法ベクトル
(cos(m)/a, 0, sin(m)/c)
はいったいどういう計算式で求めたのでしょうか？途中計算と公式があるなら教えてください。以上よろしくお願いします。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2014/10/20 01:54

ANo.1のコメントについてです。

計算式は質問の中に書いてあるわけですし、その意味が分かるように説明した訳ですが、ANo.1を完全に無視して質問文をコピペで繰り返すってことは、どうやら自分でやってみる気がないばかりか、一体どこがどう分からんかを考えることすらしたくないってことですな。

この回答への補足

誤解させてしまいすいません。法ベクトルなら
内積で考えるとacosm×(cosm/a)+0×0＋csinm×(sinm/c)=1となってしまって戸惑っています。法ベクトル、すなわち垂直なら内積=0となると思うのですが。これはどう説明されるべきなのでしょうか？

補足日時：2014/10/20 05:18

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2014/10/19 17:06

　説明が重複になるかもしれないけど(既に回答を貰ったと仰るのがどの質問なのかリンクを張ってもらえると、ナニが分からんのかが推察し易いんですが)：

　まず、点Cを通る平面Pは互いに平行でない2つのベクトルQ, Rを使って、パラメータ表示で
　 P(α,β) = C + αQ + βR (パラメータα, βは実数）
と表せますよね。
　で、曲面上の点C=X(u0, v0)における法線とは、Cで曲面に接する平面（接平面）Pを作ったとき、Pと直交するベクトルのこと。つまり法線とはQともRとも直交するベクトルです。点Cにおける曲面の接線が2つ分かれば、接線の方向ベクトルをQ, Rにすりゃ良いわけです。

この回答への補足

楕円面とxz平面の交線上の点(a cos(m), 0, c sin(m)) (0≦m＜2π)における
法ベクトル(cos(m)/a, 0, sin(m)/c)
は点(a cos(m), 0, c sin(m))からどういう計算式で求めたのでしょうか？外積でしょうか？それとも法線ベクトルの公式でしょうか？という所がわかりませんでした。言葉足らずですいませんがご回答よろしくお願いします。途中計算もお願いします。

補足日時：2014/10/20 01:08