
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>f(x)=g(x)⇔∫f(x)dx=∫g(x)dx
は成り立ちますか?
積分範囲を確認する必要があります。
f(x)=g(x) (1)
はその積分範囲全域においてなり立つという意味に取られます。
逆に(1)の成り立つ範囲(a~b)に含まれる2点c,xを考えると
a≦x<c≦b
の条件下で
f(x)=g(x)⇔∫[c→x]f(x)dx=∫[c→x]g(x)dx
これは定積分の意味でも原始関数の意味でも成り立ちます。
>f(x)=g(x)⇔∫[a→b]f(x)dx=∫[a→b]g(x)dx
は成り立ちますか?
上記の意味で成り立ちます。
ありがとうございますっ!
> >f(x)=g(x)⇔∫f(x)dx=∫g(x)dx
は成り立ちますか?
積分範囲を確認する必要があります。
f(x)=g(x) (1)
はその積分範囲全域においてなり立つという意味に取られます。
逆に(1)の成り立つ範囲(a~b)に含まれる2点c,xを考えると
a≦x<c≦b
の条件下で
f(x)=g(x)⇔∫[c→x]f(x)dx=∫[c→x]g(x)dx
これは定積分の意味でも原始関数の意味でも成り立ちます。
結局、f(x)=g(x)⇔∫f(x)dx=∫g(x)dx、f(x)=g(x)⇔∫[a→b]f(x)dx=∫[a→b]g(x)dx は全ての範囲において成り立つという事ですか?
No.5
- 回答日時:
> 確実にならばは成り立つんですね。
> 高校数学においては、
ちょっと調べました。不定積分∫fは微分するとfになる「すべて」の関数を求める操作のようです。結果として積分定数を含んだ形になりますが、パラメーターを含んだもの同士を (同じモノを表していても) 等号で結ぶということはできないような気がします。それで「∫f=∫g」とは書かないと思います。
例えば、y=2xを積分して、Aさんはx^2+C、Bさんはx^2+K、Cさんは2x^2+Rと答えたとして、Aさんの答えとBさんの答えが「同じ」だということを「x^2+C=x^2+K」とは書かないと思います。Cさんの答えは「違う」ということを「x^2+K≠2x^2+R」とも書かないと思います。
No.4
- 回答日時:
>確実にならばは成り立つんですね。
何だろう?? 連続のこと?
ありがとうございます。
>(=>) fに何んかして△fを求める操作△:f→△fがあるときに「f=gならば△f=△g」なのは当然のことだと思います。△が微分でも平行移動でも「不定」積分∫であっても。
の事です。
No.3
- 回答日時:
> f(x)=g(x)⇔∫f(x)dx=∫g(x)dx
> は成り立ちますか?
(=>) fに何んかして△fを求める操作△:f→△fがあるときに「f=gならば△f=△g」なのは当然のことだと思います。△が微分でも平行移動でも「不定」積分∫であっても。
(<=) これは∫の方法によると思います。fとgがある1点において異なる値をとったとしても、それらの「定」積分はすべて同じになったりしますから。
ありがとうございますっ!
確実にならばは成り立つんですね。
高校数学においては、
f(x)=g(x)⇔∫f(x)dx=∫g(x)dx、
f(x)=g(x)⇔∫[a→b]f(x)dx=∫[a→b]g(x)dx
が成り立つという理解でいいですか?
No.2
- 回答日時:
> f(x)=g(x)⇔∫f(x)dx=∫g(x)dx
> は成り立ちますか?
不定積分の相等を考えるのは無意味です。
関数f,g,F,GについてF’=f,G’=gという関係があるとき
”f=g⇔F=G”が成り立つかどうか考えるのなら意味はあります。
そしてこれはもちろん成り立ちません。
> f(x)=g(x)⇔∫[a→b]f(x)dx=∫[a→b]g(x)dx
> は成り立ちますか?
f,g,a,b,xについての情報がなく、右辺が意味を持つかどうかが不明なので意味がないです。
a,bが実数であり関数f,gが区間[a,b]で積分可能なとき
”f=g⇔∫[a→b]f(x)dx=∫[a→b]g(x)dx”が成り立つかどうか考えるのなら意味はあります。
そしてこれはもちろん成り立ちません。
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