漸化式の問題について

次の漸化式の問題について教えてください。

数列{a［n］｝は次の条件を満たしているとする。
a［1］=2、3na［n+1］=(n+1)a［n］(n=1,2,3,・・・)

(1)b［n］=a［n］/nとおいて数列{b［n］｝の漸化式を導き、一般項b［n］、a［n］を求めよ。

(2)Σ(k=1→n)(a［k+1］-a［k］/3)を求めよ。

(1)b［n］=2(1/3)^n-1
a［n］=2n(1/3)^n-1
(2)1-(1/3)^n
が解答となっていますが解き方が分かりません。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/01/29 00:25

a［1］=2　　　　　　　　　　　　（1）

3na［n+1］=(n+1)a［n］(n=1,2,3,・・・)　　　（2）

(1)b［n］=a［n］/nとおいて数列{b［n］｝の漸化式を導き、一般項b［n］、a［n］を求めよ。

（2）より

a［n+1］=(n+1)a［n］/3ｎ

a[n]=na[n-1]/3(n-1)

b[n]=a[n-1]/3(n-1)=b[n-1]/3=b[n-2]/3^2=....=b[1]/3^(n-1)

(1)より

b[1]=a[1]/1=a[1]=2

ゆえに

b[n]=2(1/3)^(n-1) (3)

a[n]=nb[n]=2n(1/3)^(n-1) (4)


(2)Σ(k=1→n)(a［k+1］-a［k］/3)

=Σ(k=1→n){2(k+1)(1/3)^k-2k(1/3)^(k-1)/3} ((4)を代入）

=Σ(k=1→n){(1/3)^k)[2(k+1)-2k}

=2Σ(k=1→n)(1/3)^k=2(1/3)[1-(1/3)^n]/(1-1/3)=1-(1/3)^n (等比級数の和）