ロケットエンジンの推進力についての運動エネルギーの保存の法則について

エネルギー保存の法則についての質問です。

平らで抵抗のない地面に質量Ｍの台車が置かれているとします。

この台車にはロケットエンジンが装着されていて、ロケットエンジンの推進力で
静止状態から加速されるとができるとします。ここで燃料の減分は無視すること
とします。

ここでロケットエンジンは、Ｆの力で一定時間のｔ秒間にＥのエネルギーを出力できる
ものとしますと、台車が停止状態からｔ秒間の間に加速度はａ＝Ｍ／Ｆで運動すると思います。

最初のｔ秒間に台車に加えられたエネルギーはＥですが、そのときの速度を初速とすれば、
次のｔ秒間はも、Ｆの力が台車にかかるため、加速度ａで加速すると思います。
しかし、最初のｔ秒間も、次のｔ秒間も、エンジンの出力はＥで一定です。

従って最初のｔ秒間にエンジンがした仕事Ｗ１は、Ｅ＝１／２Ｍ×ａ＾２×ｔ＾２（１）で、
次のｔ秒間にエンジンがした仕事Ｗ２もＥ＝１／２Ｍ×ａ＾２×ｔ＾２（２）となります。

すると、最初のｔ秒から次のｔ秒までの間加速度ａで加速するためのエネルギーは（１）（２）
より、２×１／２×Ｅ＝Ｍ×ａ＾２×ｔ＾２となると思います。

しかし、静止状態から２ｔの間に台車がされた運動エネルギーでエネルギーを計算すると、
１／２×Ｍ×ａ＾２×２ｔ＾２＝２×Ｍ×ａ＾２×ｔ＾２
となってしまい、上記と合いません。

つまり、台車にされる仕事 ＜ 台車の持つ運動エネルギー
となってしまいます。

ロケットエンジンのように反作用で推進する機構は一般的に、このような現象が発生する
のでしょうか。

No.1 回答者： ryumu 回答日時： 2015/02/11 13:47

このロケットの状態は、「台車を力Fで引っ張る」状態と問題がすり替わっています。

燃料消費の質量変化（＝台車を動かす力の源）を無視してしまうと、消費される燃料によるエネルギーが全て無駄なく推進力に使われていると仮定しても、正しく計算はできません。

実際には、消費される燃料分の質量が逆方向に、ある速度を持って放出されることを考慮した式を運動方程式に含めます（というより、燃料消費に伴うロケットの運動量の時間変化を計算すると、自動的に方程式に現れます。少し近似が入りますが）。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
しかし、最初のｔ秒で一定速度ｖになった時点を初速と考えてその速度から加速することを考えると、最初のｔ秒間で加速した速度で運動する物体が、次のｔ秒で加速した速度の相対速度の差は、最初の速度０から速度ｖに増加するのと等しいと考えると、最少の速度０から速度ｖまで加速するのに必要なエネルギーと、次のｔ秒で速度ｖから２ｖへ加速するエネルギーは等しいのではないでしょうか。

ロケットの推進を説明しているサイトを見ますと、燃料の減少分が考慮されていますのでが、漸近線に近づく推進力が説明されていますが、推進力Ｆは一定の値にに近づくのですが、推進力ＦはF＝Ｍaですから、aは一定の加速度で運動すると考えられます。なので、ロケットのような反作用を使って推進する機構の場合には、エネルギー保存の法則が成り立たないように思えるのですが、いかがでしょうか。

お礼日時：2015/02/11 18:34

No.2 回答者： -Ken-Ken- 回答日時： 2015/02/11 13:48

>次のｔ秒間にエンジンがした仕事Ｗ２もＥ＝１／２Ｍ×ａ＾２×ｔ＾２（２）となります。

ここで間違えています。
仕事は、力×移動距離、で定義されていますから、速度が0→atとなった最初のt秒間の仕事と、速度がat→a・2tとなった次のt秒間の仕事は等しくないです。
(2)の式を、力×移動距離、の定義通りに計算すれば、仕事と台車の運動エネルギーが等しくなることが確認できます。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
しかし、最初のｔ秒で一定速度ｖになった時点を初速と考えてその速度から加速することを考えると、最初のｔ秒間で加速した速度で運動する物体が、次のｔ秒で加速した速度の相対速度の差は、最初の速度０から速度ｖに増加するのと等しいと考えると、最少の速度０から速度ｖまで加速するのに必要なエネルギーと、次のｔ秒で速度ｖから２ｖへ加速するエネルギーは等しいのではないでしょうか。

ロケットの推進を説明しているサイトを見ますと、燃料の減少分が考慮されていますのでが、漸近線に近づく推進力が説明されていますが、推進力Ｆは一定の値にに近づくのですが、推進力ＦはF＝Ｍaですから、aは一定の加速度で運動すると考えられます。なので、ロケットのような反作用を使って推進する機構の場合には、エネルギー保存の法則が成り立たないように思えるのですが、いかがでしょうか。

お礼日時：2015/02/11 18:33

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/02/11 13:51

>しかし、最初のｔ秒間も、次のｔ秒間も、エンジンの出力はＥで一定です。

これが間違ってます。ちゃんとエネルギーを定義通りに計算してみましょう。

No.4 回答者： ryumu 回答日時： 2015/02/11 22:04

No.1です。

私、ポイントがずれてましたね。
最初の文を読んで、燃料分を考慮しなきゃ無理じゃん・・・と早合点してました。

ご質問の内容は、本当に「台車を力Fで引っ張る」とすり替えて考える場合ということですね。

まず、”エンジンのエネルギーが一定”という主張は忘れて下さい。

「台車を力Fで引っ張る」という状況において、台車については、普通に運動方程式が立てられて（進行方向を正としてx軸を設定）、

　Ma=F

となります。M、a、Fは一定とします。
さらに、最初は止まっていた、ということで、t=0の時、x=v=0です。
また、時間tの時の、速度vと位置xは、v=at、x=(1/2)a·t^2

さて、(台車ではなく）引っ張る側の仕事は、

　E = ∫F·v dt = ∫F dx =F·Δx　

ですから（Δx：変位）、時間が、t1からt2までの仕事量は、

　E（t1->t2) =F·Δx = F·(1/2)·a·[(t2)^2-(t1)^2] = (1/2)·M·(a^2)·[(t2)^2-(t1)^2]

となります（Ma=Fを使用）。
すると、最初のtまで（0->t）の仕事W1、その次（t->2t）の仕事W2は、それぞれ

　W1 = (1/2)·M·(a^2)·[t^2 - 0)]
　W2 = (1/2)·M·(a^2)·[(2t)^2 - t^2)] = (3/2)·M·(a^2)·(t^2)

つまり、No.2の方のご指摘の通り、二つの仕事量は異なります。

一方、最初から時間2tまでの仕事W3は、

　W3 = W2 = (1/2)·M·(a^2)·[(2t)^2 - 0] = (4/2)·M·(a^2)·(t^2) = 2·M·(a^2)·(t^2)

となり、W1+W2 = W3 となります。
そもそも、仕事が時間の二次関数ですから、W1とW2が一致するはずがないのです。

混乱の原因は、No.3の方のご指摘の通り、「エンジンの出力はＥで一定」というところです。
常に力が加わっている場合、エネルギーを消費し続けるので、エネルギーは一定になりえません。
今回の問題の場合は、「エンジンの推進力はFで一定」ということがもっとも適切かと思います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
私が疑問に感じたのは、最初のｔ秒で一定の速度ｖに達したときに、そこからの相対速度で次のｔ秒を考えるのが正しいと思ったからです。地上を走る自動車の場合は、タイヤの回転数で速度が決まりますが、速度が増すごとに減速比を小さくしていく必要があり、それでトルクが小さくなるので加速度も小さくなるのは理解できるのですが、噴射による反作用で動作するような機構の場合、ある瞬間の速度は静止点からみると相対速度はＶとなりますが、運動中の物体からみるとそのときの速度は０として、そこから一定の仕事率で加速していくと考えるのが正しいと思いました。いかがでしょうか。

お礼日時：2015/02/11 23:52

No.5 回答者： lupan344 回答日時： 2015/02/11 22:49

質問文に書かれている現象は、ロケットエンジンでは無く、単純な等加速度運動です。

したがって、質問文に書かれているように考えた場合は、自由落下でも矛盾が生じてしまいます。
問題なのは、一定の力を加え続ける事は、一定の仕事率（一定時間に一定のエネルギーを出力する事）では不可能だと言う事です。
等加速度運動の場合は、移動距離は1/2at^2、その時の速度はv＝atとなります。
運動エネルギーの変化＝仕事ですから、t（0）→t(1)までの運動エネルギーの変化は、1/2・(at）^2となります。
仕事を移動距離と加速度から求めると、1/2at^2×a＝1/2(at）^2となり、前式と同じです。
同様に、t（0）→t(2）までの運動エネルギーの変化は、1/2・（2at）^2＝2(at）^2となります。
仕事は、同様に1/2a(2t）^2×a＝2(at）^2となります。
つまり、一定の仕事率では、一定の力を加え続ける事は不可能なんです。
矛盾を感じたのは、一定の仕事率で一定の力を加え続けられると考えた事にあります。
また、t(0）→t(1)の移動距離とt(1）→t（2）の移動距離が違う事も考慮されていません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
私が疑問に感じたのは、最初のｔ秒で一定の速度ｖに達したときに、そこからの相対速度で次のｔ秒を考えるのが正しいと思ったからです。地上を走る自動車の場合は、タイヤの回転数で速度が決まりますが、速度が増すごとに減速比を小さくしていく必要があり、それでトルクが小さくなるので加速度も小さくなるのは理解できるのですが、噴射による反作用で動作するような機構の場合、ある瞬間の速度は静止点からみると相対速度はＶとなりますが、運動中の物体からみるとそのときの速度は０として、そこから一定の仕事率で加速していくと考えるのが正しいと思いました。いかがでしょうか。

お礼日時：2015/02/11 23:52

No.6 回答者： ryumu 回答日時： 2015/02/12 01:10

> ある瞬間の速度は静止点からみると相対速度はＶとなりますが、運動中の物体からみるとそのときの速度は０として、そこから一定の仕事率で加速していくと考えるのが正しいと思いました。

それは構わないのですが、異なる座標系、しかも一方は加速度系（非慣性系）ですから、運動方程式も変わるので、各系での仕事（W1とW2）を比較すること自体、無意味ではないでしょうか？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
私が知りたいのは、ロケットエンジンのように反作用で加速している物体の
運動エネルギーは、実際に与えるエネルギーよりも、静止点から見た運動エネルギーの方が大きくなるということが、一般的に言えるのかということです。つまり反作用で加速するしくみの物体は、エネルギー保存の法則が成り立たないのではないかということです。ロケットに関することをネットで調べてみても、運動量についての説明はありますが、仕事量について説明しているものが見当たらないのです。

お礼日時：2015/02/12 11:17

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/02/12 16:16

>最初のｔ秒で一定速度ｖになった時点を初速と考えてその速度から加速することを考えると、

>最初のｔ秒間で加速した速度で運動する物体が、次のｔ秒で加速した速度の相対速度の差は、
>最初の速度０から速度ｖに増加するのと等しいと考えると、最少の速度０から速度ｖまで
>加速するのに必要なエネルギーと、次のｔ秒で速度ｖから２ｖへ加速するエネルギーは
>等しいのではないでしょうか。

これも間違い。速度差は関係ないです。エネルギーは

　加えた力X移動距離

が定義。これだけです。

0～v までの移動距離は L = (1/2)at^2 = (1/2)v・t (a=v/t)
エネルギーは
　F = Ma = Mv/t なので E=FL = Mv/t・(1/2)v^2・t=(1/2)Mv^2

0～2v までの移動距離は (1/2)a(2t)^2 = 2v・t = 4L

だから v~2Vまでの移動距離は 2v・t - (1/2)v・t = (3/2)v・t = 3L

だから速度 v~2V でのエネルギーは

　F ・3L = Mv/t・(3/2)v・t = (3/2)Mv^2

つまり 速度 v～2v のときに受け取るエネルギーは 速度 0～v のときに受け取る
エネルギーの３倍です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

地上のある静止点から見た場合は仰るとおり、エネルギーは速度の二乗に比例しますが、加速している物体からみると、地上との相対速度は増えていますが、ある時点での速度を等速運動とみると、その速度から加速するのは、運動している系から見ると、速度０からの加速する仕事量と同じだと思うのですが。要は地上の静止点から見た運動エネルギーと、運動中の物体から見た運動エネルギーは違うということなのかと思いました。

お礼日時：2015/02/12 19:58

No.8 回答者： ryumu 回答日時： 2015/02/12 19:19

> 実際に与えるエネルギーよりも、静止点から見た運動エネルギーの方が大きくなる

いや、大きくなってないですよね？
質問者様のW1、W2の計算が間違っていることを、No.4で示したつもりだったのですが、分かりにくかったでしょうか？

それと、

> ロケットエンジンのように反作用で加速している物体

と書かれていますが、想定している問題は、燃料の変化を考慮していない以上、単なる等加速度運動の問題です。
反作用で加速する云々は関係ありません。

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/02/12 23:18

>要は地上の静止点から見た運動エネルギーと、

>運動中の物体から見た運動エネルギーは違う
>ということなのかと思いました。

その通りです。例えば物体の運動エネルギーは
物体と同じ速度で移動する慣性系からみたら
Oです。エネルギーは慣性系を定めて始めて
定まります。異なる慣性系で得られたエネルギーを
足しこむことはできません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

仰るとおりだと思いますが、同じ速度で移動する物体から見ると、その速度から反作用を利用して加速するロケットは、その速度Vから２Vに加速するエネルギーと、静止状態から、速度Ｖまで加速するエネルギーとは同じになると思います。すなわち、燃料の減少による質量の減少を無視したとすると、ロケットが加速するために必要なエネルギーよりも、静止しているある地点から見たエネルギーが一致しないことになると思うのですが。つまり、反作用を利用して加速する機構を持つ物体は、エネルギー保存の法則が成り立たないということになると思うのですが、いかがなものでしょうか。

お礼日時：2015/02/13 21:04

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/02/14 00:28

>同じ速度で移動する物体から見ると、

>その速度から反作用を利用して
>加速するロケットは、
>その速度Vから２Vに加速するエネルギーと、
>静止状態から、速度Ｖまで加速するエネルギーとは
>同じになると思います。

残念ながら、異なる慣性系で測定した
エネルギーは比べることも足し合わせることも
意味はありません。エネルギー保存則は
単一の座標系でしか成り立ちません。

あなたがエネルギーと呼んでいるものは、カ積とか
運動量と呼ばれるものですね。