ベクトルの問題です！

Question

〔問題〕

a→=(2, 1, 2), b→=(1, 2, -2), c→=(-6, 6, 3)とする。

このとき, s, tをパラメータとして, OP→=s*a→+t*b→+c→で表される平面πを考える。

s=2, t=3としたときの点Q(1, 14, 1)を中心とする半径3の円で平面π上にある円をCとする。

C上の点をR(x, y, z)とするとき, x+y+zの最大値・最小値を求めよ。

〔解答〕

平面πはQを通りa→, b→に平行な平面である。

Cはこの平面上のQを中心とする半径3の円である。

a→・b→=0, │a→│=│b→│=3であるから, OQ→=q→とすると, C上の点Rは, 

OR→=q→+cosθ*a→+sinθ*b→=(1, 14, 1)+cosθ*(2, 1, 2)+sinθ*(1, 2, -2)

∴ (x, y, z)=(1+2cosθ+sinθ, 14+cosθ+2sinθ, 1+2cosθ-2sinθ)

と表せる。

 x+y+z=16+5cosθ+sinθ


ここで, 5cosθ+sinθの範囲が求まればx+y+zの最大値・最小値を求められるのですが, どうすればよい

のかわかりません。ご教示くださいますようお願いいたします。

表記でハッキリしないところがあればご指摘ください。

papabeatles · Accepted Answer

16+5cosθ+sinθ＝１６＋√２６sin（θ＋α）ですので
cosα＝１／√２６　sinα＝５／√２６ですので
１６－√２６から１６＋√２６の範囲です。

stomachman · Answer

ANo.3へのコメントについてです。

ご質問では三角関数を含む式をすらすら導き出していらっしゃるんで、どのぐらいデキる方なのかが分からなかったんですが、

> 上記のことをふまえての例題でした。

なるほど。三角関数を使えばぁ？（野原しんのすけ風）という誘導が付いてた訳ですか。
　コメントにお書きの式は
●三次元ベクトルpについて、|p|=一定  という方程式の解pの集合は球殻である
●球殻を平面で切り取れば円周になる
●直交座標系(x,y)と極座標系(r,θ)との関係は (x,y) = (r cosθ,r sinθ)
などの基本知識から容易に導けることであり、しかも（DA, DBが直交する半径であるという）かなり特殊な状況でしか現れない式なので、わざわざおぼえるようなもんじゃありません。（学習上は、基本知識を如何に駆使してこの式を導くか、ということをこそ練習しておくのが大切です。）

ところで、xが単位ベクトル(|x|=1)であるとき、xを座標軸だと思うことができます。すなわち、原点と点xを結ぶ直線がx座標軸だと思う訳です。すると、ある勝手なベクトルpのこのx座標成分の値は x・p である。言い換えれば「ベクトルpをx軸に正射影したもの（これをベクトルrとしましょう）の長さが |r|=x・pである」あるいは「ベクトルpのxと平行な成分rの大きさ|r|はr|=x・pである」ということです。なのでベクトルrは
　　r = (x・p)x
と表せる。（これらは分かっているべき基本です。）

このことを前提にして、
　　s = (a・(R-c))/(|a|^2)
という式がどこから出てきたかを説明します。
　a/|a|はaと同じ方向を向いた単位ベクトルです。なので、a/|a|と、勝手なベクトル（この場合は(R-c)）との内積を取ると、a/|a|を座標軸とする成分の値(uとしましょう)が幾らであるかが分かる。すなわち
　　u = (a/|a|)・(R-c)
である。これは、「ベクトル(R-c)をu軸に正射影したもの（ベクトルvとしましょう）の長さがuである」ということであり、uを使ってvは
　　v = u(a/|a|)
と表せます。vとaがベクトル、u, |a|はスカラー（係数）ですんで、スカラーだけをまとめてsとして、
　　v = sa
という形に書いてみましょう。（この式は「vはaと同じ方向を向いたベクトルであり、その長さがaの長さのs倍だ」ということを言っている訳です。）
　　v = u(a/|a|) = (u/|a|)a
と
　　u = (a/|a|)・(R-c) = (a・(R-c))/|a|
から
　　v = ((a・(R-c))/(|a|^2))a
である。この式のうち、スカラーだけをまとめた部分は
　　s = (a・(R-c))/(|a|^2)
となるわけです。（練習して慣れちゃえば、ここまでは秒殺です。）

stomachman · Answer

ANo.2へのコメントについてです。

まずは訂正。

>> パラメータfで表される直線
と書きましたけど、「パラメータ」という呼び方は不適当で、fは単に「定数」と言うべきでした。

さて、

> という問題に替えることで最大値・最小値を求め
> るということですよね？このやり方は難しいですね。

いやいや、「替える」わけじゃなく、単に問題から要点を洗い出し、問題をややこしくしている仕掛けを取り除いて整理しただけです。
　この場合の要点は、問題を一瞥すれば分かるように「平面における円と直線の交点についての問題である」ということであり、仕掛けというのは「平面上だけで完結している話をわざわざ３次元のベクトルで書いてある」ということです。
　この仕掛けを取り除くには、一般に、まず平面上に適当な座標系を作って、３次元の座標系(x,y,z)による記述を全部、この平面の座標系による表現に変換してやれば良い。
　しかしこの問題では、平面の直交座標系(s,t)が問題中に予め与えてあります。すなわち、適切な平面の座標系を自分で工夫する、という手間までは必要ないように易しくしてあるんで、ANo.2では素直にそれを使った訳です。

なお、「s=2, t=3としたときの点」が(1,14,1)であるということについて、ANo.2では逆に(1,14,1)からs, tを出す検算を行いましたが、これは基礎的スキルである(x,y,z)から(s,t)を出す計算の例を（質問者氏のために説明する目的で）書いただけのものでして、答案に書く必要はありません。

で、難しいと仰るのはどのあたりでしょうか。ベクトルを扱うより、三角関数の問題に「替える」方が手慣れていらっしゃる、ということかしらん？
　三角関数が出てこない方が、あたしゃ楽ですけどね。

stomachman · Answer

以下、"→"は省略します。
　　a・b = 0
だからベクトルa, bは直交しています（んで、ひと安心です）。つまり、平面π={sa+tb+c} は直交座標系(s,t)で表される平面であり、(s,t)座標系で表された平面π上の点は(x,y,z)座標系では
　　(x,y,z) = sa+tb+c
　　s = (a・(R-c))/(|a|^2), t = (b・(R-c))/(|b|^2)
と書ける。
　　|a|=|b|=3
ですから、以下、W=|a|と書くことにします。
　まずQについて
　　(a・(Q-c))/(W^2) = 2
　　(b・(Q-c))/(W^2) = 3
なので、もしQが本当に平面π上にあるのなら、
　　Q = 2a + 3b + c
のはず。やってみると
　　2(2,1,2)+3(1,2,-2)+(-6,6,3) = (1,14,1) = Q
だから、Qは確かに平面π上にあり、Qを(s,t)座標系で表したものを(p,q)とすれば、(p,q)=(2,3)です。
 　次に、平面π上にある中心Q半径rの円周C
　　C＝{ R | |R-Q|^2 = (r^2) ∧ R∈π}
を考えると、これは（|a|=|b|なのだから）(s,t)座標系で表しても円周であり、それをDとすると
　　D = {(s,t) | ((s-p)^2)+((t-q)^2) = (r/W)^2}
です。
　ところで、平面π上にある点R=(x,y,z)について、f=x+y+z、つまり
　　f= R・(1,1,1)
を計算したいというのが本題でした。点Rを(s,t)と表すと
　　f = R・(1,1,1)=(sa + tb + c)・(1,1,1)
　　=(s(2,1,2) + t(1,2,-2) + (-6,6,3))・(1,1,1)
　　=5s + t + 3
です。

以上をまとめると、「パラメータfで表される直線 f=5s + t + 3が円周 ((s-2)^2)+((t-3)^2) = 1 と交点をもつとき、パラメータfの最大値と最小値はいくらか？」
という、見覚えのあるような問題に他ならない、ってことが分かります。
　二つの式を連立して（たとえばtを消去して）二次方程式を作り、判別式が0になるfを計算すれば良いですね。

ベクトルの問題です！

16+5cosθ+sinθ＝１６＋√２６sin（θ＋α）ですので

ANo.3へのコメントについてです。

ANo.2へのコメントについてです。

以下、"→"は省略します。

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