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不可逆過程を含むカルノーサイクルの熱効率

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  • 質問者：たらさちと
  • 質問日時：
  • 回答数：3件

カルノーサイクルは可逆過程である準静的過程の断熱過程と等温過程を組み合わせたサイクルですが、ここで等温過程の部分はカルノーサイクルと同様に準静的過程で行ない、断熱過程を不可逆過程、つまり準静的でなく、勢いよく、急激に行なった場合のサイクル（これはもはやカルノーサイクルとは呼べないと思うので偽カルノーサイクルとでも呼ぶとします）の熱効率はカルノーサイクルの熱効率と較べて、どうなるのでしょうか。
不可逆過程を含むので可逆機関であるカルノーサイクルの熱効率より小さくなる、と言われたのですが、そもそも熱効率とは「サイクルが外に対してする仕事をサイクルが（高熱源から得る）熱量で割ったもの」と理解しています。
偽カルノーサイクルでは等温過程の部分はカルノーサイクルと全く同じような過程で行なう、と設定しているので高熱源から得る熱量は偽カルノーサイクルもカルノーサイクルも同じで、等温過程においてする仕事、される仕事も同じはずです。
更に、断熱過程においてですが、
可逆過程であろうと不可逆過程であろうと、「断熱」の場合サイクルが得る熱量は0なので、された仕事は全て内部エネルギーに変わると思います。そして不可逆過程の途中の内部エネルギーは定義できなくとも、不可逆過程の最初と最後（等温過程と断熱過程の繋ぎ目の点）の内部エネルギーは定義できると思います。ならば、断熱過程が可逆的に行なわれようと不可逆的に行なわれようとその最初の点と最後の点が同じなら内部エネルギーの増加する量は同じ＝サイクルがする仕事も同じ
だと思います。

これが正しいならば、断熱過程が不可逆である偽カルノーサイクルとカルノーサイクルの熱効率は等しくなるはずです。
どこか理論に穴がある気がするのですが、どこがだめなのかわかりません。
どなたか間違えているところを指摘して頂けないでしょうか

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「機関 熱」に関するQ&A： 熱機関の開発に関する問題

A 回答 (3件)

No.3ベストアンサー

  • 回答者： uen_sap
  • 回答日時：

TS線図を書きましょう。

一発で分かる。
断熱過程が不可逆とのことになっていますが、不可逆では断熱にはなりません。
エントロピが増大します。
ΣT低音 * ⊿S分だけ有効仕事が失われます。
断熱過程のみならず、不可逆部分では常に成立しますので、カルノーサイクルを超える効率は
ありません
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No.2

  • 回答者： rnakamra
  • 回答日時：

#1のものです。



申し訳ありません。
#1は間違っています。

質問者の示す偽カルノーサイクルの効率はカルノーサイクルとは異なります。

質問者の間違っている理由は

断熱過程が可逆的に行なわれようと不可逆的に行なわれようとその最初の点と最後の点が同じなら内部エネルギーの増加する量は同じ＝サイクルがする仕事も同じ

この等号が成り立つ、としたところにあります。

不可逆過程において
"気体がした仕事"と"外部がした仕事"の絶対値は一致しません。
質問者の等式の左辺は"気体が受けた仕事"、左辺は"気体がした仕事"を表していて、それが等しいとしています。
不可逆過程ではこれは成り立ちません。

気体がした仕事の式
W=∫[V0→V1]pdV
がありますが、この式でのpは気体の圧力ではありません。受ける側の圧力を指しています。(そのためpではなくPexと書くこともある)

断熱圧縮で気体のした仕事をW1,気体がされた仕事をW2とすると、
W1=∫[V0→V1]p(外部の力を圧力換算したもの)dV
W2=-∫[V0→V1]p(気体の圧力)dV
となります。

今回の質問にあるような条件下では
p(外部の力を圧力換算したもの)≠p(気体の圧力)
ですので
W1≠-W2
となります。

気体の内部エネルギー変化はW2であり、効率を計算する場合の気体がした仕事はW1であり、これは一致しませんのでW2をもとに計算した効率とは異なることになります。
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No.1

  • 回答者： rnakamra
  • 回答日時：

これは簡単です。



質問者の考えている"偽カルノーサイクル"は完全な可逆機関、"カルノーサイクル"と同等のものなのです。
ですので効率が同じになるのは当たり前。ならない方がおかしい。

何が"可逆"で何が"不可逆"なのかを考え違いしているようです。
ゆっくりとか急激とかは本質ではありません。

可逆機関の特徴は
温度差にあるところでの熱の移動がない
この点にあるといってよいでしょう。
等温過程でのゆっくりとした動きは、周りの温度との同調しながらの動かすことで温度差を発生させずに熱の移動を行うためのものです。

質問者の考えるサイクルの断熱過程では熱の移動がありません。
ですので、急激に動かそうがこれは可逆過程なのです。
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この回答へのお礼

熱力学に関して他に幾つかの質問をしていたのですが、それに対しての他の方からの回答や、色々な文献を調べた結果自己解決いたしました。
この質問における私の理解は
「不可逆な（つまり準静的でなく急激に変化を行なう）断熱過程においては可逆な断熱過程と同様、加えられた仕事Wは全て内部エネルギーへと変わるもののこの過程は準静的ではないため途中に非平衡な状態を挟んで状態が変化する。この変化は例えば気体の場所によって高温部と低温部が存在し、平衡状態になるまでに高温部から低温部への熱の移動がある、といったものである。そしてこの熱の移動はクラウジウスの原理より不可逆であるため、最終的に至る状態は準静的に仕事Wを加えた状態（状態Xとでもおくとする）とは異なる状態（これを状態Yとおく）となる（そうでないとこの不可逆であるはずの過程が可逆になるため）しかし内部エネルギーの増加はWであることに変わりはないため、状態Yは状態Xと同じ内部エネルギーを持ち、かつ、マイヤーの定理から、より状態Xとくらべてより熱効率が悪くなる方向に動かした状態である。
よってこの質問における"偽カルノーサイクル"ではカルノーサイクルよりも熱効率は悪くなる」
です。
rnakamra様の回答とは異なる結論がでたのですが、私の意見の方が正しいと断定できるほど自信がある訳ではありませんが、この理解は間違っているのでしょうか

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お礼日時：2015/08/27 02:34

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Aベストアンサー

最初の文章に問題があります。
>熱が仕事になったら、その分の仕事を与えても元の分の熱に戻せ
>なくなるというようなことを聞いた事があるのですが、

熱を仕事にする時に高温から低温に熱をすてること無く100%仕事に変えられないのです。仕事を100%熱にするのは可能です。

さてカルノーサイクルで問題にするガスはいわば補助系です。教科書的には、このガスは高温熱だめから可逆的に熱を貰いつつ等温膨張で外に仕事をし、次に断熱膨張で外に仕事をし、等温圧縮で外から仕事をしてもらいつつ低温熱だめに可逆的に熱を捨て、最後に断熱圧縮で外から仕事をしてもらいます。そして完全にもとの状態にもどります。しかし外部に対して等温膨張で外に仕事をした分から、等温圧縮で外から仕事をしてもらった分を引いた分の正味の仕事をします。（断熱過程の仕事はキャンセルアウトします。）そして外部の高温熱だめから熱をもらい、一部の熱を低温熱だめに捨てています。高温から貰った熱を全て仕事にすることは出来ないのです。

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　T_2 → Q_2 → A → Q_1 → T_1,　外部 → W → A　(2)
一方、機関Bは、熱源T_1から熱量Q_1を受け取り、外部に仕事W'をして、熱量Q_2'を熱源T_2に放出します。
　T_1 → Q_1 → B → Q_2' → T_2,　B → W' → 外部　(3)
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Qカルノーサイクル 熱効率 １以下？

よろしくお願いします。

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Aベストアンサー

＞「カルノーサイクルの熱効率は１以下である。」という表現をよく見かけるのですが

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「理想的」という意味を取り違えています。
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Qモーメントの符号

力のモーメントの符号について質問があります。
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Aベストアンサー

質問者様の事情がわからないので、慎重に答えます。よくわからない場合は補足してください。

(1)「力のモーメントは空間のベクトルだから、単純に正負に区別できない」というのが、たぶん本来の回答です。力のモーメントの定義は、ベクトルの外積を使って、
　N = r × F
です。rは支点から作用点に向かう位置ベクトル、Fは作用点に働く力です。演算「×」は外積といいます。Nの大きさは、|r||F|sinθです。θはrとFの間の角です。Nの向きは、rからFに向かって近いほうの角に回転させたとき、右ねじが進む方向と定義します。Nは、rとFのどちらにも垂直です。

（例）紙面に図が書いてあって、rが右向き、Fが下向きとすると、時計回りの力のモーメントになります。このとき、Nの向きは、紙面の向こう側に向かう向きになります。反時計回りの力のモーメントの場合は、Nの向きは、紙面から手前に向かう向きになります。

(2)力のモーメントは、ベクトルの成分に分けて考えることができます。
　右手の親指・人差し指・中指をフレミングの法則のように垂直にしてそれぞれx,y,z軸とする座標系で考えます。
　紙面の右方向をx軸、紙面の上方向をz軸として考えている場合は、紙面内で回転する力のモーメントはy軸方向になります。上の（例）とあわせてみると、時計回りはNyが正、反時計回りはNyが負となります。

　一方、紙面の右方向をx軸、紙面の上方向をy軸として考える場合は逆です。時計回りはNzが負、反時計回りはNzが正となります。

(3)そもそも、紙に実験装置か何かの絵が描いてあったとして、その装置を裏側から見れば回転は逆になるのですから、座標軸がない限り回転方向の正負は決められません。

(3)以上のようなことですから、紙面に書かれた図で力のモーメントを考える場合は、上のように座標軸を決めるか、または時計回りと反時計回りのどちらを正にするのかを、まず宣言する必要があります。

「力のモーメントは時計回りを正とする」と宣言すれば、以後の計算はそれに従います。宣言していない場合は、式の形から見分けるしかありません。

分野によっては、何か習慣があるかもしれません。そのあたりの事情はわかりません。
ご質問の趣旨に合わなければ申し訳ありません。補足をお願いします。

質問者様の事情がわからないので、慎重に答えます。よくわからない場合は補足してください。

(1)「力のモーメントは空間のベクトルだから、単純に正負に区別できない」というのが、たぶん本来の回答です。力のモーメントの定義は、ベクトルの外積を使って、
　N = r × F
です。rは支点から作用点に向かう位置ベクトル、Fは作用点に働く力です。演算「×」は外積といいます。Nの大きさは、|r||F|sinθです。θはrとFの間の角です。Nの向きは、rからFに向かって近いほうの角に回転させたとき、右ねじが進む方向と...続きを読む

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Q断熱膨張におけるエントロピー変化について

断熱膨張で、
可逆的の場合、
ΔＳ(系・外界ともに)＝０でΔＳtot＝０(Δｑ＝0より)
不可逆の場合、
ΔＳ(系)＝nCv,mln(t1/t2)＋nRln(V1/V2)
ΔＳ(外界)=0　ΔＳtot＞０より自発的に起こる。
という理解をしているのですが、なぜ不可逆の場合、ΔＳ(系)はΔＳ＝Δｑ/Tの式に反して正の値を取るのでしょうか？

Aベストアンサー

もし理想気体を考えておられるのでしたら不可逆的断熱膨張として質問者さんが計算しておられるものに問題があります。たとえば初期にV1だった理想気体を、連結した真空側の容器に広げて合計体積をV2(=V1+V1')にしたとします。エントロピーは状態量ですから初めと終わりが決まれば差は決まります。但し、変化量の計算は準静的ルートに沿って行います。断熱可逆膨張したとすれば（表記T1, T2, V1, V2が質問者さんと逆になりますが）
ΔS=∫(Cv/T)dT+∫(P/T)dV=Cv∫(1/T)dT+R∫(1/V)dV
=Cvln(T2/T1)+Rln(V2/V1)...(1)
となります。そして断熱可逆膨張については
T2={(V1/V2)^(γ-1)}T1...(2)
が成り立ちます。（この式の導出に準静的過程の要請が含まれています。）ここでγ=Cp/Cvであり、理想気体ならばCp-Cv=Rですからγ-1=R/Cvです。さて(1)を計算すると
ΔS=Cvln{(V1/V2)^(γ-1)}+Rln(V2/V1)
=Cv{(γ-1)ln(V1/V2)+(R/Cv)ln(V2/V1)}
=Cv{(γ-1)ln(V1/V2)+(γ-1)ln(V2/V1)}
=Rln{(V1/V2)(V2/V1)}
=0
となります。理想気体の断熱膨張ではエントロピーは増えません。等温過程ならばエントロピーが増大してその量はΔS=Rln(V2/V1)です。これは熱源からとった熱量をTで割ったものです。

>なぜ不可逆の場合、ΔＳ(系)はΔＳ＝Δｑ/Tの式に反して正の値を取
>るのでしょうか？
もし、理想気体の膨張の話ではなくて、断熱過程でエントロピーの増大が起こったとしたら、それは熱の流入によるものではなく内部でのエントロピー生成です。
dS=dQ/T
は可逆過程のみでなりたちます。不可逆過程ならば
dS>dQ/T
となります。Clausiusのいう非補正熱をdQ'とかけば
dS=dQ/T+dQ'/T
となります。このdQ'/Tに対応するものです。

もし理想気体を考えておられるのでしたら不可逆的断熱膨張として質問者さんが計算しておられるものに問題があります。たとえば初期にV1だった理想気体を、連結した真空側の容器に広げて合計体積をV2(=V1+V1')にしたとします。エントロピーは状態量ですから初めと終わりが決まれば差は決まります。但し、変化量の計算は準静的ルートに沿って行います。断熱可逆膨張したとすれば（表記T1, T2, V1, V2が質問者さんと逆になりますが）
ΔS=∫(Cv/T)dT+∫(P/T)dV=Cv∫(1/T)dT+R∫(1/V)dV
=Cvln(T2/T1)+Rln(V2/V1)...(1)
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Qエクセルギーの問題

1m^3の容器内の空気が0.1kPaの真空に保たれていて、その温度は周囲温度25℃に等しいとする。この系のエクセルギーを求めよ。ただし空気中のガス定数は287J/kg・Kとする

という問題が分かりません。
答えは100kJだそうです。


エクセルギーとは反応前の数値、反応後の結果がないと出せないのではないでしょうか？

あと「1m^3の容器内の空気が0.1kPaの真空に保たれていて」という表現が理解できません・・・。

Aベストアンサー

まず標準状態の定義を示します。標準状態…25[℃]＝298.15[K]かつ101325[Pa]の状態のことである。

標準状態における空気の密度は1.2928[kg/m^3]

この問題では0.1[kPa]=100[Pa]なので、簡単に比をとり密度を計算すると100:101325=x:1.2928　

ゆえにx=0.001276[kg/m^3]

1[m^3]の容器で考えているので密度はそのままx=0.001276[kg/m^3]

全エネルギーEを計算します。

ガス定数287[J/kg K]より、E=287×(25+273.15)×0.001276=109.1861[J]

エクセルギーとは有効エネルギーのことで、全エネルギーから無効エネルギーを差し引いたもの。つまり取り出し可能なエネルギーのことです。この系では周囲と温度が等しい(エントロピー変化量が０)ので無効エネルギーは考える必要はない。よって全エネルギーがそのままエクセルギーになります。

「1m^3の容器内の空気が0.1kPaの真空に保たれていて」という表現は「標準状態における圧力（101325[Pa]）よりも十分に低い圧力に保たれている」ということですね。

指定されている答えの100[kJ]と全然違いますが…この回答に不審な点があるかたどなたかお願いします。

まず標準状態の定義を示します。標準状態…25[℃]＝298.15[K]かつ101325[Pa]の状態のことである。

標準状態における空気の密度は1.2928[kg/m^3]

この問題では0.1[kPa]=100[Pa]なので、簡単に比をとり密度を計算すると100:101325=x:1.2928　

ゆえにx=0.001276[kg/m^3]

1[m^3]の容器で考えているので密度はそのままx=0.001276[kg/m^3]

全エネルギーEを計算します。

ガス定数287[J/kg K]より、E=287×(25+273.15)×0.001276=109.1861[J]

エクセルギーとは有効エネルギーのことで、全エネルギーから無効エネルギー...続きを読む

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Q速度ポテンシャルと流れ関数

二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が

u=2xy
v=x^2-y^2+1

であるとき、速度ポテンシャルφ、流れ関数ψの
求めからが分かりません。

ぜひ、教えてください。

Aベストアンサー

W(z)=φ+iψ とおくと、

dW/dz = u-iv
　　　= 2xy-i(x^2-y^2+1)
　　　= -i(z^2+1)

より、両辺をzで積分して

W(z)　= ∫(-i(z^2+1))dz
　　　= -i(z^3/3 + z) + const.
　　　= -i((x+iy)^3/3 + (x+iy) + C0+iC1
　　　= x^2y-y^3/3+y+C0 + i(xy^2-x^3/3-x+C1)

よって

φ　= x^2y-y^3/3+y+C0
ψ　= xy^2-x^3/3-x+C1

となります。

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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
（英語）
curly d,　rounded d,　curved d,　partial,　der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
（日本語）
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと（数学、物理学、経済学、工学など）の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

（１）
工学系の私は，式の中では「デル」，単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが，あとは寡聞にして知りません。

（３）
初心者へのお勧めとは，なかなかに難問ですが，ひと通り教えておいて，式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

（４）
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは，あったら私も教えて欲しいです。

（２）
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは，質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

＊すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

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Qエクセルギーが分かりません

　今エクセルギーを勉強しているのですが　いまいち理解が出来ません。エクセルギーとは「ある系が周囲温度と平衡に達するまでに、他の系に与える最大仕事のこと」だとは分かりました。
　このエクセルギーの計算ですが、調べたHPで系の温度と周囲温度の値による熱エクセルギー比の変化というものがありました。
　この式は熱エクセルギーξが
ξ=E/Q=m(h-h0){1-T0/(T-T0)lnT/T0}...(1)
　　で求めていました。この式は
熱効率ηmax=1-T0/T
　と指すものが同じだと思うのですが値を代入してみると(1)とは違った値が出てきます。これは何故でしょうか？何故エクセルギはW=η×Qと明確に区別するのでしょうか？どなたか分かりやすく教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

<<3補足
はい。そのとおりです。

なお、♯3の訂正です。

カルノーサイクルでは、熱源の温度は十分大きいとしていて×→熱源の大きさは十分大きいとしていて

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