大学物理 連続の式 偏微分について

http://computation.cside.com/math/math003.html
上のサイトで連続の式の導出について勉強していたのですが
添付した写真の式変換について質問です。

この密度ρが次の式では偏微分∂の中に入っています。
これは密度も速さ同様、時間や場所に依存して変化するため
なんの断りもなく偏微分しているということなのでしょうか？

このρはそのまんま∂の中に入れず偏微分しない。というわけには行かないのでしょうか？

お手数ではありますが解答の方よろしくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/01/22 15:02

別に、偏微分の中に入れても、外に出しても、やっていること、結果ともに変わりません。

ここでは、質量密度ρは単なる定数ですから。

この場合には、数学的には「速度（のx成分）をｘで偏微分する」ということですが、物理的には「質量流量（のx成分）をｘで偏微分する」という意味を明確にするために、質量密度ρを偏微分の中に入れているのだと思います。

これは、元々のこの式が「微小直方体に流入する質量流量と流出する質量流量の差：⊿M」を計算するための式であることからも、「質量流量（のx成分）をｘで偏微分する」の方が物理的に整合が取れるからでしょう。

「数式」だけにとらわれずに、その式が意味する「物理的な状態の記述」を考えるようにしたらよいと思います。

No.4 回答者： lupan344 回答日時： 2016/01/22 20:11

リンク先の説明は、きちんと読んでいますか？

密度ρを偏微分しているのは、圧縮性流体、非圧縮性流体の場合は、ρは定数として、外に出しています。
圧縮性流体の場合は、密度が時間と場所によって変化する可能性があるので、偏微分しています。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/01/22 16:33

元々外だったのなら、位置に依存しない定数なのでしょう。

つまり非圧縮流体の式のはず。圧縮流体なら成り立たない式です。

No.2 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2016/01/22 15:57

もともとからすれば

入る流れ j(x)
出る流れ j(x+dx)

だからdtの間の物質量変化は

[ j(x) - j(x+dx) ] dt = -(∂j/∂x) dx dt

この流れにより幅dxの区間の密度変化がdρだったとすると，物質量変化は

dρ dx

この両者が等しいので

dρ = -(∂j/∂x) dt

から

∂ρ/∂t = - ∂j/∂x

流れの密度jはρvと書けるので

∂ρ/∂t = - ∂(ρv)/∂x

面倒なので1次元で書きましたが，3次元に拡張しても同じ。