一次方程式の応用問題についてです

一次方程式の応用問題についてです
（参考書の一部なので数値と内容を変更して載せています。分かりにくいかもしれませんがお願いします）

△％の砂糖水と□％の砂糖水を混ぜて●％の砂糖水を500グラムつくる。
それぞれ何グラムずつ混ぜるか。。


この問題で・・・・
△％の砂糖水をXとしたとき・・・

X　×　△/100　+　（500-X）×□/100　=　500×●/100

・・・となる理由がわかりません。

私は、

△％の砂糖水をXとしたとき・・・

X　+　（500-X）=　500

になるのかと思ったのですが解答にはそれぞれの砂糖水の濃度をかけているようです。
何グラムずつか、を求めているので、濃度をかけたら砂糖水に含まれている砂糖のグラム数を求めている気がしてしまいます。

なぜ濃度をかける必要があるのでしょうか。教えてください。

質問者からの補足コメント

• 

  砂糖水の重さX×砂糖の割合（△％）＋（全体の重さ－砂糖水の重さX）×砂糖水の割合（□％）＝全体の砂糖水の重さ×砂糖水の割合（●％）
  
  このような形で
  
  ①　X　×　砂糖水の割合（△％）→Xｇの中に△％の砂糖が含まれている
  
  ②（全体の重さ－X）×砂糖水の割合（□％）→（全体の重さ－X）ｇの中に□％の砂糖が含まれている。
  
  ③　全体の砂糖水の重さ５００ｇ×砂糖水の割合（●％）→全体の砂糖水の重さ５００ｇの中に●％が含まれている。
  
  ということですよね。
  
  この問題で求めているのが、何グラムずつということなので①、②、の～ｇの部分を知りたいから、Xで表しているのには特に問題がない、ということですよね。
  もし、砂糖の含まれている割合がわからないと、式として意味がないですよね。
  
  簡単な文章問題でも、分を見て式に直すのが苦手ですが徐々に慣れていこうと思います。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/02/12 03:34

No.4 ベストアンサー 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2016/02/12 15:43

少し長いですが最後まで手抜きせずによんでね。

根本的な部分が抜け落ちている。中学校というより小学校の「割合」(5年生)とその基礎になる分数あたり。
[割合] = [ある量] / [基準の量]
　[割合]は、[濃度]であったり、[打率]であったり、[利益率]であったり、[速度]であったり、[比重]や[電気抵抗]であったりと色々姿を変えますが、すべて同じですよ。頭の中では、すべて同じイメージ---人によって二層に分かれたコップの水とか、長方形を二つに塗り分けたものとか--違うでしょうが。物理になると次元が増えて３次元になったり４次元になったり
　それがイメージできないと先に進めない。

　その基本は、
[割合] = [ある量] / [基準の量]
　　[ある量] = [割合]×[基準の量]
　　[基準の量] = [ある量] / [割合]
です。

＞△％の砂糖水と□％の砂糖水を混ぜて●％の砂糖水を500グラムつくる。
それぞれ何グラムずつ混ぜるか。
＞△％の砂糖水をXとしたとき・・・
ここが、この手の問題が苦手な人の典型です。「できる人はここを見逃す」
　△％の砂糖水の量をX(g)、□％の砂糖水の量をY(g)としたとき
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
でなければなりません。理数系はこんな部分にこだわる。

なら初めて、　
[ある量] ： 砂糖の量　　単位は g
[割合]：濃度　　　　　　単位は %
[基準の量]：砂糖水の量　単位は g
と結びつく。すなわち
[割合](%) = [ある量](g) / [基準の量](g)
　　[ある量](g) = [割合](%)×[基準の量](g)
　　[基準の量](g) = [ある量](g) / [割合](%)

なら、問題文の骨格は
『濃度△(%)の砂糖水 X(g)と、濃度□(%)の砂糖水 Y(g)を混ぜて、濃度●(%)の砂糖水を500(g)』
になる。
　そのまま、砂糖の量に基づいて立式する---数学語--に翻訳すると
　　　△(%) × X(g)　　+　　 □(%) × Y　　　　　　　 = 　　●(%) × 500(g)
濃度△(%)の砂糖水 X(g)と、濃度□(%)の砂糖水 Y(g)を混ぜて、濃度●(%)の砂糖水を500(g)
　混ぜる前後で砂糖の絶対量は変わらないのでね。

もちろん

　　[割合] 　　=　　　 [ある量]　　　　　　 /　 [基準の量]
濃度●(%)　　 = (△(%) × X(g)+□(%) × Y) / 砂糖水を500(g)

でも

　　[基準の量] = [ある量] / [割合]
　砂糖水を500(g) = (△(%) × X(g)+□(%) × Y) / 5(%)

のいずれでも良い。

★なぜ濃度をかける必要があるのでしょうか。教えてください。
　そう考えるのではない!!!・・・ここがあなたが式を立てられない一番の問題なのです。
砂糖の量(ある量)を出すためには、量(g)を掛けないと・・・
1) 式を立てるために、前後で変わらいものを=で結び付けなきゃならない。--OK？
2) 前後で変わらないものは砂糖の量　--OK?
3) 砂糖の量を出すためには、砂糖水の量に濃度をかける --OK?
4) 混ぜる前の砂糖の量 = 混ぜた後の砂糖の量 ---OK?
5) 混ぜる前の砂糖の量を二つ足す　砂糖水の量　×　濃度 --OK?
6) 混ぜた後の砂糖の量　砂糖水の量　×　濃度　---OK?

割合を考えるときは、この三つの式が同時に思い浮かばないとなりません。
濃度を考えるときは
[濃度] = [溶質の量] / [溶液の量] = [溶質の量] / ([溶質の量] + [溶液の量])
打率なら
[打率] = [打数] / [打席数]
速度なら
[速度] = [進んだ距離] / [時間]
比重や密度なら
[比重] = [質量] / [体積]
電気抵抗なら
[抵抗] = [電流] / [抵抗]
利益率なら
[利益率] = [利益] / [売上]

最後に、文章や会話から、内容を正確にポイントだけを抜き出して考える--言語能力--ことは、仕事だけでなく日常生活にも、とても重要です。数学は簡単な数式という言葉で書き表すにすぎない。
　△(%)×X(g) + □(%)×Y = ●(%)×500(g)
って簡単でしょ。ここまでできたら簡単に解ける。
　
　本をたくさん読みましょう。マンガだとダメなのは、作者が図示してくれているから、自分でイメージする必要がない。（だから娯楽にはなる）・・・。数学を得意になろうとしたら、早道は読書をたくさんすること。

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/02/12 12:09

ミソは、砂糖水を砂糖と水に分けてしまうことです。

砂糖水から砂糖だけ分離する、ってのは、実際には困難ですが、机上の空論的にそうするのです。

> △％の砂糖水と□％の砂糖水を混ぜて●％の砂糖水を500グラムつくる。
> それぞれ何グラムずつ混ぜるか。

これは早口言葉みたいになっています。
まず文章を区切る。

→ △％の砂糖水がある。
→ □％の砂糖水もある。
→ これらを混ぜて●％の砂糖水を500ｇつくる。
→ それぞれ何グラムずつ混ぜるか。

そこで、
> △％の砂糖水をXとしたとき・・・
この着眼ができればＯＫです。
文章を書き換えましょう。

→ △％の砂糖水がｘｇある。
→ □％の砂糖水がｙｇある。
→ これらを混ぜて●％の砂糖水を500ｇつくる。

では、三つの文に対して、それぞれ分析してみましょう。
→ △％の砂糖水がｘｇある。
では、砂糖は何ｇで、水は何ｇでしょう
→ □％の砂糖水がｙｇある。
同じく、砂糖は何ｇで、水は何ｇでしょう
→ これらを混ぜて●％の砂糖水を500ｇつくる。
これもそう、砂糖は何ｇで、水が何ｇでしょう。これが目標になります。

もう一度書き換えます。
→ △％の砂糖水がｘｇあり、砂糖はＡｇで、水はＢｇである。
→ □％の砂糖水がｙｇあり、砂糖はＣｇで、水はＤｇである。
→ これらを混ぜて●％の砂糖水を500ｇつくる。つまり、砂糖Ｅｇ、水Ｆｇにする。

当然、Ａ＋Ｃ＝Ｅ、Ｂ＋Ｄ＝Ｆ、(ｘ＋ｙ＝？)、
となるはずです。ＡもＢもｘと△で書けますし、ＣもＤもｙと□で書けますし、ＥとＦも、500ｇと●で書けます。
未知の数がｘとｙの二つで、一次方程式が二つですから、これで解けます。
溶液、溶質、溶媒、の三要素が各々あり、それぞれが濃度というもう一つの要素で結ばれているのです。
溶液、溶質、溶媒、そして濃度。

No.2 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2016/02/12 01:17

x+(500-x)＝500

を計算すると、
500＝500
になってしまいます。
X　×　△/100　+　（500-X）×□/100　=　500×●/100
は、砂糖の量で、式を作っています。

△％の砂糖水Xgとは、
全体を100％としたとき、
そのうち、砂糖が△％含まれているから、
砂糖の量は、
Xⅹ△/100g
になります。
□％の砂糖水(500-X)gであれば、
全体を100％としたとき、
そのうち、砂糖が□％含まれているから、
砂糖の量は、
(500-X)ⅹ□/100g
になります。
砂糖水と砂糖の関係は、
全体を100としたときの割合になるので、
濃度をかけることになります。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/02/12 00:43

＞X　+　（500-X）=　500

これは単なる算数でしょう。

X + (500 - X) = X + 500 - X = 500
あたりまえです。

「濃度」とは、「溶けているもの（ここでは砂糖）の重さ ÷ 溶液（砂糖水）の重さ」ですから、
（１）砂糖の重さ
（２）砂糖水の重さ
が必要です。

「X + (500 - X) = 500」は、（２）でしょう？
（１）がなければ「濃度」にはなりません。

よく分かっていないようなので、△％の砂糖水をX グラム、□％の砂糖水をY グラムにしてしまいましょう。
そうすれば、

（１）の砂糖の量は、「X グラムの△％」と「Y グラムの□％」の合計です。
これが「500 グラムの●％」になるのです。

これを式にすれば、砂糖の量は
　　500 × ●/100 = X × △/100 + Y × □/100

（２）の砂糖水の量は
　　X + Y = 500

ということです。

この（２）を
　　Y = 500 - X
として（１）に代入したのが、

　　500 × ●/100 = X × △/100 + ( 500 - X ) × □/100

です。

「濃度」の場合は、「溶液全体の量と、溶けているものの量」の両方を計算する」ことが必要なのです。