二次不等式の二次関数への利用について

ご質問させていただきます。

教材に例題として、
放物線 y = x^2 + 2ax ＋ 2a + 8 ついて、
『ｘ軸と共有点を持つように、αの値の範囲を決めなさい。』というのがあった時、

模範解答では、まず平方完成し、ｘ、ｙの座標を求めてから、
ｙの座標に対して、

-a^2 + 2a + 8 ≦ 0 から
a^2 - 2a - 8 ≧ 0
(a - 4)(a + 2) ≧ 0
αの範囲は、
a ≦ -2 ，4 ≦ a

に至り、解いていました。

ちなみに、この放物線を平方完成せず、判別式を使って、
共有点を持つようにとの事なので、
D ≧ 0 から、
D = 2a^2 - ４・１・（2a+8) として
2a^2 - ４・１・（2a+8) ≧ 0
4a^2 - 8a - 32 ≧ 0
両辺を 4 で割って
a^2 - 2a - 8 ≧ 0
因数分解して、
(a - 4)(a + 2) ≧ 0
αの範囲は、
a ≦ -2 ，4 ≦ a
ではダメでしょうか？

どなたか教えていただけると幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/05/30 13:26

問題有りません。

細かい事言うと、直ちに「D ≧ 0 から」と言うのはおかしい。
y = x² + 2ax ＋ 2a + 8 ①
y=0 ②
①と②が共有点をもつには、①と②の連立方程式
x² + 2ax ＋ 2a + 8=0において、D ≧ 0・・・・・、

と言う事ですね。

この回答へのお礼

ご回答、ありがとうございます。

ちなみに、全ての二次不等式に対して、不等号の向きさえ間違えなければ、判別式のやり方で解答を求めれますか？

お礼日時：2016/05/30 13:47

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/05/30 14:49

>>全ての二次不等式

全ての二次方程式で、実数解を持つ条件が、D ≧ 0です。