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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
n=2mとおく
x^(2m)+y^(2m)=x^(2m)-y^(2m)+2*y^(2m)=(x+y)(x-y){x^(2m-2)+x^(2m-4)*y^2+...+y^(2m-2)}+2*y^(2m)
この変形で、x+yが2*y^(2m)の約数でないことを示せばよいことがわかる。
x+y=kと置くと題意よりk>2。
kが2以外の素因数を持っ場合と持たない場合に分けて、2*y^(2m)がkの倍数であると矛盾が生じることを示せばよい。
No.2
- 回答日時:
私もー
x^n+y^n=A(n) と書くことにする。
x^2 -(x+y)x +xy=0
x^(n+2) -(x+y)x^(n+1) +xy x^n=0
同様に
y^(n+2) -(x+y)y^(n+1) +xy y^n=0
よって
A(n+2)-(x+y)A(n+1)+xyA(n)=0
もしも A(n) が x+y で割り切れたら A(n+2) も割り切れるけど、それは置いといて、逆に A(n+2) が割り切れるとすると、x と x+y は互いに素、y と x+y も互いに素だから A(n) が x+y で割り切れる。だから、割り切れるものがあると、A(2) が割り切れることになる。
A(2)=(x+y)^2 -2xy なので、2xy を割り切る。よって 2 を割り切る。xy≠1 から x+y>2 であるが、これは不合理だ。
論の運びに誤りがあったらゴメンだけど、上記の式から数学的帰納法が使えるのではなかろうか。
ちなみに、x+y=k とおいて x=k-y を代入したら No.1 さんにつながってしまった。
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