数学 整数問題

数学の整数問題についてです
[116]xとyは互いに素な正整数でxy≠1としnは正の偶数とする。このときx＋yはxⁿ＋yⁿの約数でないことを証明せよ
これの解法を教えて下さい
因みに1992年JMO本選の問題らしいです

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/08/18 09:39

n=2mとおく

x^(2m)+y^(2m)=x^(2m)-y^(2m)+2*y^(2m)=(x+y)(x-y){x^(2m-2)+x^(2m-4)*y^2+...+y^(2m-2)}+2*y^(2m)

この変形で、x+yが2*y^(2m)の約数でないことを示せばよいことがわかる。

x+y=kと置くと題意よりk>2。
kが2以外の素因数を持っ場合と持たない場合に分けて、2*y^(2m)がkの倍数であると矛盾が生じることを示せばよい。

この回答へのお礼

ありがとうございます！なんとか出来ました！

お礼日時：2016/08/18 20:58

No.2 回答者： hiccup 回答日時： 2016/08/18 20:20

私もー

x^n+y^n=A(n) と書くことにする。

x^2 -(x+y)x +xy=0
x^(n+2) -(x+y)x^(n+1) +xy x^n=0
同様に
y^(n+2) -(x+y)y^(n+1) +xy y^n=0
よって
A(n+2)-(x+y)A(n+1)+xyA(n)=0

もしも A(n) が x+y で割り切れたら A(n+2) も割り切れるけど、それは置いといて、逆に A(n+2) が割り切れるとすると、x と x+y は互いに素、y と x+y も互いに素だから A(n) が x+y で割り切れる。だから、割り切れるものがあると、A(2) が割り切れることになる。

A(2)=(x+y)^2 -2xy なので、2xy を割り切る。よって 2 を割り切る。xy≠1 から x+y>2 であるが、これは不合理だ。


論の運びに誤りがあったらゴメンだけど、上記の式から数学的帰納法が使えるのではなかろうか。
ちなみに、x+y=k とおいて x=k-y を代入したら No.1 さんにつながってしまった。

この回答へのお礼

詳しくありがとうございます！

お礼日時：2016/08/18 20:58