sinの等式について。

この等式がなんで成り立つのかが分からないです。教えていただきたいです。

sin(2n＋3)θ=2(1-2sin^2θ)sin(2n+1)θ－sin(2n-1)θ

No.1 ベストアンサー 回答者： _11 回答日時： 2016/09/11 09:41

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
ここの②で少し変形した式を導き出しています

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/11 13:18

右辺から攻めて行った方が簡単かな。

加法定理から

sin(2n+1)θ
= sin(2nθ)cos(θ) + cos(2nθ)sin(θ)

sin(2n-1)θ
= sin(2nθ)cos(θ) - cos(2nθ)sin(θ)

より

右辺
= 2[ 1 - 2sin^2(θ) ][ sin(2nθ)cos(θ) + cos(2nθ)sin(θ) ] - [ sin(2nθ)cos(θ) - cos(2nθ)sin(θ) ]
= 2sin(2nθ)cos(θ) + 2cos(2nθ)sin(θ) - 4sin(2nθ)sin^2(θ)cos(θ) - 4cos(2nθ)sin^3(θ) - sin(2nθ)cos(θ) + cos(2nθ)sin(θ)
= - 4cos(2nθ)sin^3(θ) - 4sin(2nθ)[ 1 - cos^2(θ) ]cos(θ) + sin(2nθ)cos(θ) + 3cos(2nθ)sin(θ)
= - 4cos(2nθ)sin^3(θ) - 4sin(2nθ)cos(θ) + 4sin(2nθ)cos^3(θ) + sin(2nθ)cos(θ) + 3cos(2nθ)sin(θ)
= - 4cos(2nθ)sin^3(θ) + 4sin(2nθ)cos^3(θ) - 3sin(2nθ)cos(θ) + 3cos(2nθ)sin(θ)

ここで、３倍角の公式

sin(3θ) = 3sin(θ) - 4sin^3(θ)
より
　sin^3(θ) = (3/4)sin(θ) - (1/4)sin(3θ)

cos(3θ) = 4cos^3(θ) - 3cos(θ)
より
　cos^3(θ) = (3/4)cos(θ) + (1/4)cos(3θ)

を使って（この公式を覚えていなければ、ひたすら 3θ → 2θ+θ, 2θ → θ+θ とやって行けばよい）

右辺
= -cos(2nθ) [ 3sin(θ) - sin(3θ) ] + sin(2nθ)[ 3cos(θ) + cos(3θ) ] - 3sin(2nθ)cos(θ) + 3cos(2nθ)sin(θ)
= -3cos(2nθ)sin(θ) + cos(2nθ)sin(3θ) + 3sin(2nθ)cos(θ) + sin(2nθ)cos(3θ) - 3sin(2nθ)cos(θ) + 3cos(2nθ)sin(θ)
= cos(2nθ)sin(3θ) + sin(2nθ)cos(3θ)
= sin(2nθ + 3θ)
= 左辺

になりましたね。

この回答へのお礼

素晴らしいです。ありがとうございました。

お礼日時：2016/09/18 00:23