数学Ⅲの微分でわからない所があります。 画像の(3)なのですが、fxのグラフを書いてその最小値が－

数学Ⅲの微分でわからない所があります。

画像の(3)なのですが、fxのグラフを書いてその最小値が－1/16以上だと考えたのですがうまくいきませんでした。

どのように処理すればよいのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• fxを微分して、分子がxcosx－2sinxとなり、分子＝0となるxを探そうとしましたがうまくいきませんでした。

    補足日時：2016/10/03 15:37

• ご指摘をもらい考えたのですが、
  
  (2)よりxcosx－2sinx＝0となる点が
  4π/3＜x＜3π/2にあり、それをαとして、
  fxの増減表を書くと
  
  0 … α …
  x － 0 ＋
  fx fα
  
  となったのですが、fαが求められずそこから進めませんでした。

    補足日時：2016/10/03 16:55

No.4 ベストアンサー 回答者： tak04 回答日時： 2016/10/03 17:32

f(x)=sinx/x^2

f'(x)={2xsinx-x^2cosx}/x^4
g(x)={2sinx-xcosx}/cosx


g'(x)=-{2cosx-cosx+xsinx}sinx-cosx{2sinx-xcosx}/cos^2x
={-3/2sin2x-2xcos2x}/cos^2x

g'(4pi/3)=-3root3/4+4/3pi>0
g'(x)は4pi/3<x<3pi/2で単調増加

g(4pi/3)={-root3+2pi/3}/-root3/2<0
g(3pi/2)=-2/-0>0
4pi/3<x<3pi/2にg(x)はただ一つ解を持つ

f(x)の最小となるのはg(x)=0になるxのとき
2tanx=x
このx=aとすると
f(a)=sina/a^2=sina/4tan^2a=cos^2a/4sina

f(a)+1/16={4cos^2a+sina}/16sina=h(a)/16sina

16^2(f(a)+1/16)'=cosa{4cos^2a+sina}-sina{-8sinacosa+cosa}/sin^a
=4cosa{1+7sin^2a}/sin^2a<0

f(a)+1/16はa=3/2piで最小
f(3/2pi)+1/16=0
aは3/2piでないので
f(x)+1/16>0

この回答へのお礼

(1)から(3)までの解答も答えていただいてありがとうございます！

よくわかりました！

お礼日時：2016/10/03 17:43

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/10/03 17:02

ヒント

-1/16<-{3/(4π)}^2

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/10/03 16:28

ああ, それはだめだろうね.

ところでこの問題がなぜ「(3)」なのか考えてみましたか? つまり, (1) や (2) との関連は思いつきませんでしたか?

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/10/03 15:02

どのように進めていってどう「うまくいかなかった」んでしょうか?