最適消費量の計算（二期間モデル）

下記の問題についてご教授願います。

2期間モデルを用いて、消費者の消費・貯蓄配分問題を考える。消費者は第１期にも第２期にも働いて、それぞれY₁≥０、Y₂≥０の実質賃金を得るとする。実質利子率ｒ＞０とし、消費者は第１期に貯蓄及び借入を行えるとする。消費者は異時点間の予算制約のもとで、第２期に得られる効用の和U（C₁，C₂）＝u(c₁)+u(c₂)が最大となるように第１期の消費、第２期の消費の最適な水準を決定している。各期の効用関数は対数関数（u(C)=logC）であるとする。

問１　効用最大化問題より最適な資源配分が満たすべき条件を求めなさい。
問２　各期の最適な消費水準を決める消費関数C₁、C₂を求めなさい。
問３　「問２」で求めた消費関数を用いて、実質利子率が下落したとき、C₁、C₂がどのように変化するか説明しなさい。
問４　今、ｒ＝1/4、Y₁=200、Y₂=300であるとする。第１期、第２期の最適な消費水準を求めなさい。
問５　「問４」のもとで、借入制約の影響を考える。消費者が第１期に借入制約に直面し、借入を行えないとする。第１期、第２期の最適な消費水準を求めなさい。


以上の問題について、
ご教授のほど宜しくお願いいたします。
（「対数関数」と「借入ができる」という条件から導き方がよくわかりません。）
ご回答に長文を要求するような質問かもしれません。
お手数お掛けしますが、どうぞよろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/10/08 10:28

質問を閉じていないということはまだ私の回答に理解できないところがあるということでしょうか？それなら、どこがよくわからないか、追加質問をすればよい。

もしかしたら、対数関数u(C) = log Cについてでしょうか？このlogは自然対数で常用対数ではありません。logの底（てい）は自然対数の底と呼ばれる、eであらわされる無理数です。常用対数（対数の底は10）と区別するためにlog Cの代わりにln C
と書くこともあります。自然対数関数u(C) = log Cを微分すると、
u'(C) = 1/C
となります。したがって、
U = log C1 + log C2ならば、これをC1,C2で偏微分するとそれぞれ
∂U/∂C1 ＝1/C1
∂U/∂C2 = 1/C2
となるから、限界代替率MRSは
MRS≡（∂U/∂C1)/（∂U/∂C2)＝(1/C1)/(1/C2) = C2/C1
となります。これで数学的部分の疑問は解消したでしょうか？

この回答へのお礼

こんなに詳しく、ありがとうございました！お礼も言えず失礼しました。。
また、ご質問させていただくこともあるかと思いますが宜しくお願い致します。

お礼日時：2016/10/26 14:25

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/10/07 07:08

２期間モデルと通常の２財モデル（X財とY財の選択の問題）とは解き方はまったく同じだということを知ってください。

後者が解けるなら、前者において第１期財をX財、第２期財をY財と考えればよいだけの話です。参考のため後者の問題をレビューしておきましょう。後者の問題は
max U = u(x,y)
s.t.
Px・x + Py・y =Px・Wx + Py・Wy (*)
と表わせる。ただし、ｘ（ｙ）はX財（Y財の）消費量、Px（Py)はX財（Y財）の市場価格、Wx（Wy)はX財（Y財）の初期保有量。この予算制約(*)のもとで効用を最大化する問題の１階の条件は
MRS = Px/Py
で与えられる。よって最適解(x,y)は、これと予算制約(*)をｘとｙについて解けばよい。ここで、MRS=（∂U/∂ｘ)/(∂U/∂y)は限界代替率。

前者の問題も同じように定式化し、解けばよい。
max U = logC1 + logC2
s.t.
C1 + C2/(1+r) = Y1 + Y2/(1+r) (**)

コメント。第１期の消費の「価格」を１とすると、第２期の消費の「価格」は1/(1+r)となることを理解すること。この予算制約が述べていることは、右辺は1期、2期の消費の現在価値の合計、右辺は1期、2期の所得の現在価値で、予算制約はこれらが等しくなるようにC1とC2を配分する、ということだ。最適化の1階の条件は
MRS= 1/(1/(1+r))
すなわち
MRS＝1+r
で与えられる。ただし、MRS＝（∂U/∂C1)/(∂U/∂C2)=(1/C1)/(1/C2)=C2/C1.
よって、最適化の1階の条件は
C2/C1 = 1+r
よって
C2 = (1+r)C1
となる。これが問1の答え。

問2は求めた最適化の条件を予算制約(**)に代入し、C1とC2について解けばよい。よって
C1 = [Y1 + Y2/(1+r)]/2
C2 = (1+r)[Y1 + Y2/(1+r)]/2 = [(1+r)Y1 + Y2]/2
問3．問2の結果からあきらか。ｒが下がると、C1は増加し、C2は減少する。ｒが下がると、第2期財の価格1/(1+r)が上昇すると、第2期財から第1期財へ消費のシフトが起こる、ということ。第1期財と第2期財は粗代替財であることがわかる。
問4は数値を問2の結果へ代入するだけ。結果はC1=220、C2=275。暗算で計算したので間違っているかも、確かめてください。
問5．注意すべきことは、最適消費（C1,C2)=(220,275)をするためには、S=Y1-C1=200-220=-20（つまり、20の借入れ）しているということ。借入れ制約で、この20が借入れができないときは、第1期の消費は所得Y1=200に制約され、したがって、C1=Y1=200、C2=Y2=300と各期の消費は各期の所得を消費するだけとなる。