これが全くわかりません 至急おしえてください(＞人＜;)

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No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/11/10 13:01

a, b の最大公約数は

　48 = 2^4 * 3　　　(a)
なので、
　a = 48 * m
　b = 48 * n
と書けます。　　（ア、イ）

48<a<b より 1<m<n です。

(a)および上記より、a, b は因数として 2, 3, m, n を持ちますが、3つ以上の因数の組合せだと約数が「21個」にはならないので、因数は2個以下であることが分かります。
ということは、
　m=2, n=3
または
　m=3, n=4
ということです。

約数が 21 個であるとき、p^0 = 1 も約数なので、素因数の最大のべき乗は「約数の数 - 1」で、素因数が2つの場合の約数の数は「3つと7つ」であり、
　L = p^20 または L = q^2 * r^6
と書けます。　　（ウ、エ、オ、カ）

(a)より、a, b の最小公倍数は 2^4 より大きいので q が 2 になることはなく、
　q = 3, r = 2
であり
　L = 3^2 * 2^6 = 576
となります。

一方
　L = 48 * m * n
であることから
　m * n = 12
となります。　　（キ～サ）

以上から
　m=3, n=4
ということになり、
　a = 48 * 3 = 144
　b = 48 * 4 = 192
です。　　（シ～チ）


上の（シ～チ）より、①式は

　144x + 192y = c　　　①

となります。

　これは
　　(2^4 * 3^2)x + (2^6 * 3)y = c　　　②
なので
　　3x + 4y = c /(2^4 * 3)
であり、左辺は整数なので、右辺も整数であり、右辺が整数になるための必要十分条件は、c は任意の自然数を k として
　　c = k * (2^4 * 3) = 48k
つまり「48の倍数」であることである。　　（ツ、テ）

　c = 48 * 689 のとき、②より

　　3x + 4y = 689　　　③

である。これを変形して
　　4y = 689 - 3x　　　④
④より 689 - 3x は正の4の倍数であり、最小の x は、x=3 であることから、p を0 または自然数として
　　x = 3 + 4p (0 ≦ p ≦ 56)　　⑤
と書けます。

各々の自然数 x に対して、対応する自然数 y が決まるので、自然数 (x, y) の組は「57個」存在します。　　（ト、ナ）

⑤より、x が2桁になるのは 2≦p≦24 のときであり、このとき
　　y = 689/4 - (3/4)x
　　　= 689/4 - (3/4)(3 + 4p)
　　　= 170 - 3p
なので、y が2桁になるのは 24≦p≦53 であるから、x, y がともに2桁になるのは p=24 のときのみで、このとき
　x = 3 + 4*24 = 99
　y = 170 - 3*24 = 98　　（ニ～ノ）


問題の読み違え、考え違いしているところがあるかもしれません。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！！

お礼日時：2016/11/12 01:20