バネに取り付けたおもりを回転させるとどうなるか？

回転する水平面上の中心にバネの一端を固定し，もう一端におもりを取り付けます。

　遠心力＝おもりの質量×角速度の２乗×回転半径

という式は合っていると思いますが，この式に従って考えると，質量の大きなおもりを取り付けた方がバネが良く伸びると思います。すると回転半径が大きくなおもりにはたらく遠心力＝質量×角速度の２乗×回転半径
り，遠心力が大きくなり，またバネを伸ばし・・・となり，いつまでたってもつり合わないのでしょうか？

高校の物理の問題集などを見ると，同様の問題が掲載されており，バネの伸びを求めさせているので，どこかでつり合うような気がするのですが・・・
その問題集ではつり合うことが前提で，
　バネ定数×バネの伸び＝遠心力
という式がたててあります。

ちなみに，この質問は，前回質問した遠心分離器のしくみから派生した疑問を質問しています。

よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： ryn 回答日時： 2004/08/06 23:40

> ｘ＝μｇ／ω＾2　になり，回転半径は角速度の２乗に反比例する。

> つまり回転が速いほど，遠心力の小さな内側でないと
> 物体を固定しておけないと考えましたが，この考え方は正しいですか。
これで正しいですよ．

回転平板と物体の間の最大静止摩擦力は
平板や物体を違うものに変えなければ不変なので
仰るとおりの結果になります．

この回答へのお礼

ありがとうございました。何度もご回答下さりありがとうございました。

お礼日時：2004/08/09 10:31

No.3 回答者： circuit_breaker 回答日時： 2004/08/05 17:07

遠心分離器の項も拝見しました。

「バネによる拘束力は半径と共に増加するが、（角速度一定とする時）遠心力だって半径に比例する。どうして回転半径は定まるのか。回転半径が拡大していったり不安定になったする事はないだろうか」と言うのが疑問の主旨でしょうか。

普通のバネではなく、半径に関わり無く縮む力が一定の特殊なバネを仮定して単純化すれば、疑問点をより鮮明に表現できるでしょう。何かの擾乱で半径が増すと遠心力が増加する。バネが伸びるが引き戻す力は変わらない。すると半径が増し遠心力が増加して半径が増し発散・・・、　本当だろうか。　

例えば遠心力の式を rω^2 でなく v^2/r と記述するだけで印象が変化してしまわないでしょうか。

不条理の原因は角速度一定のまま半径が変化するだろう言う錯覚によるものと思われます。まず外部から系を分離して考えてみます。系の全エネルギはバネに蓄えられたポテンシャルエネルギとおもりの運動エネルギの合計です。半径が大きくなるにはバネにポテンシャルエネルギを供給しなければなりません。それはおもりの運動エネルギから供給されるしかありませんから回転速度は落ちる事になります。外力でおもりを加速する場合はどうでしょう。この場合、外部から与えるエネルギはバネとおもりの両方に分配されます。半径に対し両エネルギともに単調増加です。つり合い位置が安定平衡点である事はこのように保証されると思いますが、関連して、角速度には必ずしも任意性は無く、主役とはなれない事も示せると思います。

まず自然長Lの普通のバネを考えてみましょう。#2の方が 力のつり合いより、r = kL/(k-mω^2) である事を示してらっしゃいます。しかしこの式のωは任意に設定できるものでは無い事に注目下さい。ωが小さいうちはバネは単調に伸びます。しかし　k = mω^2 を通り越すと突然 r は負です。これはどう言う事でしょう。そのようなωには成りえない、解が無いと言うことでしょう。別の例で本質を追ってみましょう。

１）伸びに比例して縮む力が発生する普通のバネ、ただし自然長が零
力のつり合い：kr = mrω^2、つまり k = mω^2
r が消えてしまいます。しかもωには唯一の値しか許されません。r は任意ですが、ωによってでは無く、系に蓄えられたエネルギで安定に定まっているのです。外力でωを変化させようとしてもそれは叶いません。ただし反作用はあり、エネルギは授受できてr が変化します。ちなみにポテンシャルエネルギは 1/2・kr^2、運動エネルギは1/2・m(rω)^2 、つり合いの式を交えて計算すると後者のエネルギも 1/2・kr^2 で同一。それらに外部からのエネルギが分配されるのでしょう。

２）伸びに関わりなく縮む力f が一定なバネ
力のつり合い：f = mrω^2
この場合はrとωが逆比例的関係になります。ωが大きい事を強力に回すと言うイメージで捉えてしまうと不可解に感じられるでしょう。挙動は次のようになります。外力でωを増加させようとします。rは大きくなりますが、ωの増加は叶わぬばかりか減少してしまうと言うことです。ポテンシャルエネルギは fr、運動エネルギは1/2・m(rω)^2、つり合いの式を交えて計算すると後者は1/2・fr 。回転数を上げようとトルクを加える行為は逆に回転数を下げる結果を招きますが、ポテンシャルエネルギも運動エネルギも増加させる事に着目してください。rはωで決まると言うより、むしろ系に蓄積されたエネルギで決まっているのです。

「加速しようとしても叶わない」、信じ難いですが、人工衛星など良い例です。噴射で高度をあげますが、角速度ばかりか、速さも遅くなっていきます。ポテンシャルエネルギは増加してますが、なんと運動エネルギは減少しています。勿論、両者の合計は増加です。伸びにしたがって1/r^2で力が弱くなる例ですが、安定平衡点で周回します。ちなみに1/rで力が弱くなる条件で運動エネルギ不変のようです。

遠心分離器ですが、重さの差異と言うより比重の差異、浮力を際立たせる為のものと考えると解り易いように思います。例えば水に小さな粒子が分散しているとします。この粒子が水より比重が大きいとしてもいくつかの理由で迅速な沈降・分離が妨げられます。例えば水の粘性抵抗、またブラウン運動です。大気中の窒素、酸素などが分離してないのはブラウン運動によるかき混ぜ効果が浮力に勝っているからでしょう。重力によるポテンシャルエネルギがブラウン運動のエネルギに勝るようにすれば、拡散速度より比重差が際立ち。結果、層状分離できると言う事かと思います。その重力を得るのに遠心力を使っていると考えてはいかがでしょう。

以上、誤りが無いと良いですが。

No.2 回答者： ryn 回答日時： 2004/08/04 10:28

角速度ω，ばね定数k，自然長L とします．

始めに質量mのおもりをつけたとき
　k(x-L) = mxω^2
より，回転半径は
　x = kL/(k-mω^2)
となります．

次に，例えばおもりの質量を2mとすると
　k(x-L) = 2mxω^2
がつりあいの式となるので，回転半径は
　x = kL/(k-2mω^2)
となり，先ほどより大きい半径でつりあうことになります．

この回答への補足

数式での説明を見て，納得できました。やはりどこかでつり合いますよね。

ところで，全く別の質問とした方がよいのかもしれませんが，次の場合はどうなのでしょう？
バネで固定するのではなく，静止摩擦係数μの回転平面に質量ｍの物体を置き，角速度ωで回転させると
（ｇ＝重力加速度　ｘ＝回転半径）

　μｍｇ＝ｍω＾2ｘ　になりますよね。

ということは，

　ｘ＝μｇ／ω＾2　になり，回転半径は角速度の２乗に反比例する。つまり回転が速いほど，遠心力の小さな内側でないと物体を固定しておけないと考えましたが，この考え方は正しいですか。

よろしくお願いします。

補足日時：2004/08/05 15:39

No.1 回答者： zero-fighter 回答日時： 2004/08/04 09:53

バネが壊れない範囲においては、バネを伸ばせば伸ばすほど、縮まろうとする力が強くなります。

それを考慮に入れれば、適当なところで遠心力＝バネが縮む力　となってつりあうはずです。