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RLC直列回路で、このグラフを書くためにはどのような式を立てれば良いのでしょうか?

「RLC直列回路で、このグラフを書くために」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • R=10Ω L=1mH C=uFで描きたいです

      補足日時:2016/12/01 16:30

A 回答 (3件)

微分方程式作って解く。

電子回路の場合は線形微分方程式なので
ラプラス変換という手法を使うのが普通です。

RLC直列にステップ入力した場合の VC の応答のようですが
VL(インダクタの電圧) =L(di/dt)
VC(キャパシタの電圧)=(1/C)∫idt
VR(抵抗の電圧)=Ri
i: 電流

なので

u(t) = L(di/dt) + (1/C)∫[0→t]idt + Ri

u(t): ステップ関数(t<0→0, t ≧0→1 という関数)。

これからi を求め (1/C)∫[0→t]idt を求めればよいのですが、
ラプラス変換すると

i→I, u(t)→1/s, L(di/dt) → sLI, (1/C)∫[0→t]idt→ I/(sC) と変換するので

1/s = sLI + I/(sC) + RI = {sL + 1/(sC) + R}I

I=1/[s{sL + 1/(sC) + R}]=1/{s^2L + 1/C + sR}
=(1/L)/{s^2 + s(R/L) + 1/(LC)}

ここで T=(1/2)R/L
{1/(LC)-(R/L)^2/4}=W と置くと

I=(1/L)/{(s+T)^2 + W}

これを逆ラプラス変換すると

W≧0 の場合は減衰振動解(リンギング解)。
i=(1/L)sin(√(W)t)e^(-Tt)/√(W)

W < 0 の場合は(RがLに比べ大きく、振動の減衰が激しい場合は)
非減衰振動解
i=sinh(√(-W)t)e^(-Tt)/√(-W)

これを積分して 1/C をかければ VC(t) です。
これが結構骨なんで、後はお任せします(^^;
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>ここで T=(1/2)R/L



いけね。記号としてTはふさわしくないですね。時定数じゃないんだし。
γ=(1/2)R/L を代わりに使ってください。

時定数との関係は γ = 2π/T

W≧0 の場合は減衰振動解(リンギング解)。
i=(1/L)sin(√(W)t)e^(-γt)/√(W)

W < 0 の場合は(RがLに比べ大きく、振動の減衰が激しい場合は)
非減衰振動解
i=sinh(√(-W)t)e^(-γt)/√(-W)
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この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます。
最後の積分も教えていただきたかったのですが、自分で頑張りたいと思います!

お礼日時:2016/12/02 08:40

RLC直列回路に、ステップ状(階段1段分)の電圧をかけたときの応答ですね。



微分積分が分からないと無理ですが、微分・積分は大丈夫ですか?

RLC直列回路に対して、入力電圧 V(t) をかけたときの電流を I(t) とすると

  V(t) = R*I(t) + L*dI(t)/dt + (1/C)∫I(t)dt   ①

となることはよろしいですね?
 この V(t) として「ステップ関数」を与えたときの応答が、図示されているものかと思います。

 上記①の微分方程式を解けばよいのですが、通常はこういった「ステップ入力」に対する微分方程式を解くには「ラプラス変換」というものを使います。
 こんなところを参考に。
http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/laplacetr …
http://www.kairo-nyumon.com/control_laplace.html
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この回答へのお礼

ありがとうございます。頑張って勉強します!

お礼日時:2016/12/01 22:34

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f(z)=e二乗/(z-1)(z-2) (z=2)について証明しろと問題が
出されたのですが理解できず困ってます。

アドバイスお願いします。

Aベストアンサー

留数とは
Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  …(1)

の積分によって求められる値が留数だ!ってまず覚えてください。
この式は領域D内にある、特異点を含む単一曲線を示していると考えてください。

(z=2)は特異点ですよね?
ローラン展開しないとf(z)は分母が0になっちゃいますよね?
それが特異点なのです。だからz=1も特異点です。
ここでまた大事なのが特異点の極といわれるものです。この式の場合はどっちも(z-1)^1(z-2)^1なのでどっちも1位の極です。
    (z-1)^2(z-2)^1ではz=1では2位、z=2では1位の極となります。極は一般にはk位の極などといいます。
f(z)の特異点における留数を求めたい場合は、f(z)と求めたい特異点の極を求める必要があります。


Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  
    =1/(k-1)!*lim(z→a) d^(k-1)/dz^(k-1)[(z-a)^k*f(z)]
に極、f式を代入して簡単に求められます。


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