高校1年生の物理基礎の問題なんですけど、 この問題の解き方を教えていただけませんか

高校1年生の物理基礎の問題なんですけど、
この問題の解き方を教えていただけませんか

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/12/27 14:23

「仕事」とは「エネルギー」のことです。

高校物理では、「加えた仕事分だけ、エネルギーが増える」と習うかな。

　「仕事率」とは、「１秒間に加えた（あるいは奪った）仕事」ということです。その分だけ、１秒間のエネルギーが増減します。
　また、「加速度」は「「１秒間の速度の差」です。
　つまり、どちらも「１秒あたり」ということがミソです。

　速度 v （＝運動エネルギー (1/2)mv² ）で走っている自動車に、１秒間で P の仕事を加えるのですから、エネルギー保存則より

（１）水平面：運動エネルギーは (1/2)mv² - P → (1/2)mv² に増える。

（２）斜面：位置エネルギーも mgv*sinθ だけ増えるので、全体のエネルギーは (1/2)mv² - P → (1/2)mv² + mgv*sinθに増える。

ということです。

（１）では、運動エネルギー (1/2)mv² - P のときの速度を V = v - a とすると
　　(1/2)mV² = (1/2)mv² - P
で、v - V = a が「１秒間の速度変化」すなわち「加速度」です。

　これを計算すれば、V = v - a より
　　(1/2)mV² = (1/2)m(v - a)² = (1/2)mv² - mva + (1/2)ma²
より
　　(1/2)mv² - mva + (1/2)ma² = (1/2)mv² - P
　　a² - 2va + 2P/m = 0
これを二次方程式の公式で解くと
　　a = [ 2v ± √( 4v^2 - 8P/m) ]/2
　　　= v ± √( v^2 - 2P/m)
加速度は a = v - V であるから a < v なので
　　a = v - √( v^2 - 2P/m)


（２）では、同じく運動エネルギー (1/2)mv² - P のときの速度を V = v - a とすると
　　(1/2)mV² = (1/2)mv² - P + mgv*sinθ
で、v - V = a が「１秒間の速度変化」すなわち「加速度」です。

　これを計算すれば、V = v - a より
　　(1/2)mV² = (1/2)m(v - a)² = (1/2)mv² - mva + (1/2)ma²
より
　　(1/2)mv² - mva + (1/2)ma² = (1/2)mv² - P + mgv*sinθ
　　a² - 2va + 2P/m - 2gv*sinθ = 0
これを二次方程式の公式で解くと
　　a = [ 2v ± √[ 4v^2 - 8(P/m - gv*sinθ) ]/2
　　　= v ± √[ v^2 + 2(gv*sinθ - P/m) ]
加速度は a = v - V であるから a < v なので
　　a = v - √[ v^2 + 2(gv*sinθ - P/m) ]

この回答へのお礼

ありがとうございます！
助かりました

お礼日時：2017/01/09 22:00

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/12/27 22:53

加速度 a の時の運動エネルギーの時間当たりの増加は

lim[Δt→０]{(1/2)m(v+aΔt)^2 - (1/2)mv^2}/Δt=mva

(1) では P は時間当たりの運動エネルギーの増加量なので
mva ＝P
a = P/(mv)

(2)では P'=vmgsinθ だけ、毎秒位置エネルギーに運動エネルギーを
持って行かれるので

a = (P-P')/(mv)=(P-vmgsinθ)/(mv)

いずれも、加速はやがて鈍くないります。

この回答へのお礼

ありがとうございます
助かりました！！！

お礼日時：2017/01/09 22:00

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2016/12/27 23:32

(1)自動車の駆動力をＦ、加速度をａ、速度をｖとすれば運動方程式は

ｍａ＝Ｆ、この両辺にｖをかけて
ｍａｖ＝Ｆｖ、ここで仕事率＝力×測度の関係を使えばＦｖ＝Ｐしたがって
ｍａｖ＝Ｐ、ゆえにａ＝P/(mv)

(2)運動方程式は、ｍａ＝Ｆ－ｍｇsinθ、龍辺にｖをかけてＦｖ＝Ｐをつかうと
ｍａｖ＝Ｐ－ｍｇｖsinθ、ゆえに
ａ＝(P－mgvsinθ)/(mv)

この回答へのお礼

ありがとうございます！！
助かりました、！

お礼日時：2017/01/09 22:02

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2016/12/28 12:20

No.1です。

No.1と、#2さん、#3さんの回答が異なるので混乱しているかもしれません。

両者は「ほぼ等価」です。高１なら、#2さん、#3さんの解き方の方がよいかもしれません。

仕事 = (力) × (動かした距離)　　　①

ですから、速度 v (m/s) なら1秒間に
　　v(m/s) × 1(s) = v (m)　　　②
移動します。

一方、1秒間に加えた仕事は
　　P (J/s) × 1(s) = P (J)　　　③
です。

従って、1秒間で考えれば、①式は
　　P (J) = F (N) × v (m)　　　④
です。ここで、運動方程式より
　　F (N) = m(kg) × a(m/s²)　　　⑤
ですから、これを④に代入すれば
　　P = mav
よって
　　a = P/mv
です。

　ただし、これは「近似的」な解き方で、②が成立するということは、その1秒間はずっと速度 v (m/s) で動いていたということで、だったら「加速度はゼロ」ということになってしまいます。
　厳密には、力や加速度、速度、移動距離（変位）は時々刻々と変わり、これを「時間の関数」として解かないといけないのですが、そのためには「微分、積分」が必要です。
　「微分、積分」は数Ⅲで習うと思いますが、その物理への応用は大学物理で扱うことになります。
　従って、「微分、積分」を使わずに解くには、何らかの「近似」が必要です。

　No.1の回答は、「微分、積分」を使わない範囲で、ほんの少し精度を上げた（はずの）解き方をしたので、#2さん、#3さんとは違った式になりました。
　No.1の解の第２項は、「テイラー展開」という手法を使うと、

　　√( v^2 - 2P/m) = v - (1/2)*2P/(mv) + (1/8)*4P²/(m²v³) - (1/16)*8P³/(m³v⁵) + ・・・

となって、v >> 2P/m という条件であれば第3項以降は非常に小さくなって無視できるので、No.1 の答は近似的に

　　a = v - √( v^2 - 2P/m)
　　　= v - [ v - (1/2)*2P/mv + (1/8)*4P²/m²v³ - (1/16)*8P³/m³v⁵ + ・・・]
　　　≒ (1/2)*2P/mv
　　　= P/mv

となって、#2さん、#3さんの解と一致します。

　つまり「もともとの速度 v は非常に大きいので、1秒間の運動エネルギーの変化（＝速度変化=加速度）は v に比べると十分小さい」という条件下では、No.1 の解と#2さん、#3さんの解とはほぼ一致します。
　この条件がない場合には、No.1の方が「少し精度の高い解」になっているはずです。

（２）も同じです。

　以上のように、「近似」としては一致するので、「高１」の範囲では、#2さん、#3さんの解でよいのかなと思います。
　ただし、No.1 の解も、高１レベルの範囲で十分求められると思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます
助かりました！
わかりやすいです

お礼日時：2017/01/09 22:03

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/12/28 18:19

yhr2さん。

変ですよ。
AN01で求めているのはー秒間の「平均加速度」
問題が求めているのは加速度の「瞬時値」なので
ANO1の回答は単純に誤りです。

AN04でANO2、3は近似値であるかのように書かれてますが
実際は逆です。平均加速度のテーラー展開がたまたま
瞬時値を含むのを勘違いされてますね。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2017/01/09 22:05

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2016/12/29 10:07

No.1&4です。

#4さん＞AN01で求めているのはー秒間の「平均加速度」

なるほど、言われてみれば確かにそうですね。No.1は単位時間＝「１秒間」で考えていました。
「１秒間」ではなく「微小時間 Δt」で考えればいけませんね。

・速度 v (m/s) から Δt (s) の間に進む距離 v*Δt (m)
　　↓
　このときに働いている力を F (N) とすると、Δt (s) の間になされた仕事は F*v*Δt (N･m=J)　　　①

・このときに働く加速度を a (m/s²) とすると、力は F = m*a なので、①は
　　m*a*v*Δt (N)　　　②

・仕事率が P (J/s) なので、Δt (s) の間に加えられた仕事は P*Δt (J)　　　③

・②③が等しいので
　　m*a*v*Δt = P*Δt
　よって
　　a = P/(mv)

確かに、特別な仮定なしで導けますね。


すみません、No.1&4　は撤回します。
混乱させてスミマセン。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2017/01/09 22:04