【数学】解き方が全く分かりません…わかる方解説お願いします！【円錐】【高校受験】【私立対策】

Question

yuji3690 · Accepted Answer

(1)
xの深さでの水面（円）の半径をrとするとx:r=30:10→r=(1/3)x
よって水面の面積は(π/9)x^2
高さxの錐体なので体積はy=(π/27)x^3
0≦x≦30なので代入して
0≦y≦1000π

(2)
深さが1.5倍になると水面の半径も1.5倍になり、
それにより水面の面積は1.5^2倍になり、
体積は1.5^3倍になる。
よって100*1.5^3=150*1.5^2=225*1.5=337.5
元々100あるので
337.5-100＝237.5（cm3）

(3)
残りの水の深さの1.5倍が満水なので、
全体の体積は今の体積の1.5^3=3.375倍（=27/8倍）
57秒で減ったのは残りの量の2.375倍（＝19/8倍）
57/2.375（＝57÷(19/8)＝3*8）＝24秒後に全て無くなる。

(4)
2cm→4cmは深さが2倍なので体積は8倍。
元々（2cmの時）が1倍なので35秒で7倍増えた。
つまり５秒で１倍増える。
2cm→6cmは深さが3倍なので体積は27倍。
2cm→8cmは深さが4倍なので体積は64倍。
6cm→8cmに64-27＝37倍の体積の水が必要。
5*37＝185秒＝3分5秒かかる。

lD5HwXRiHRtsPoK · Answer

1➕1とおんなじ事ですよ

銀鱗 · Answer

もう面倒だから、
　深さ2ｃｍ、
　深さ4ｃｍ、
　深さ6ｃｍ、
　深さ8ｃｍ、
の時の容積を計算して比較してみよう。
今なら時間はたっぷりある。
どんな傾向になるのかを確認できれば、次からは小学校の算数レベルの計算で答えを求められる。

手抜きをせず、マジで計算してみなさい。

健全なる精神は健全なる肉体に宿る · Answer

1番のポイントは３つ。
円錐の体積は底面積（円の面積）×高さ×1/3であること。
さらに円の面積が半径の2乗×円周率であること。
そしてもうひとつ重要なのは、問題の図にある高さ30センチ、底面の円の半径が10センチのとき、相似関係から高さと半径に３：１の比が成り立つことです。
そのため水の深さをｘとすると、そのときの水面の円の半径はｘ/3と表せます。
これを体積を求める公式に当てはめてｙはｘの3次式で表すことができます。

2番は方針として、高さ10センチのときの水の体積と、15センチのときの水の体積を求め、引き算をしましょう。
まず水面高さ10センチのときの水面の面積を求めます。（Ｓとします。）
ここで使うのも1番のポイント一つ目にあげた体積の公式です。
100＝Ｓ×高さ（10センチ）×1/3
からSを求めます。
次に水面高さ10センチの円と水面高さ15センチの円の面積比について考えましょう。
水面高さが10センチから15センチになったときは1.5倍になっていると取れます。1番のポイントにあげた3つ目の相似関係から、水面の円の半径も1.5倍になっているはずなので、円の面積の公式も半径が1.5倍の場合を考えましょう。
（半径×1.5）の2乗×円周率→2.25×半径の2乗×円周率
上の「半径の2乗×円周率」は半径を1.5倍にする前の半径でありSのことなので、
半径を1.5倍にするとSは2.25倍になることがわかります。
よって水面高さ15センチのときの水の体積は
2.25×S×高さ(15センチ)×1/3ですね。
最後に引き算します。

3番はまずつかんでもらいたい感覚として、水の流れ出る時間と水の体積は比例するということです。
例えば1リットルの水の排水に3分かかるなら、2リットルの排水には6分かかります。
なのでこの問題は円錐の体積比が分かれば、時間も比例ので答えがわかることになります。
ここまでの1番や2番からあることに気が付けば解くのは容易です。
円錐の相似関係から、様々な長さや面積、体積の関係がいろいろとわかります。
例えば2番では水面の高さが1.5倍になると、水面の面積が2.25（＝1.5の2乗）倍になるとわかりました。
同じように高さが4センチの円錐と高さ6センチの円錐の体積比が何倍になるかを考えましょう。
高さ4センチの円錐の体積をV、底面積をTとすると
V＝T×高さ（4センチ）×1/3
です。
また高さ6センチの円錐の体積をWとすると
W=2.25×T×高さ（6センチ）×1/3
なのはわかりますかね。
2番と同様に高さが4センチと6センチは1.5倍の関係なので、高さ6センチのときの底面積はTの2.25倍です。
Wを変形すると2.25×1.5×T×4センチ×1/3となり、「T×4センチ×1/3」はVのことなので、
VとWの比が求まります。
最後にW-Vの体積とVの体積の比を求めると、W-Vの排水に57秒かかったのでVの排水にかかる時間が求まります。

4番はこれまでの応用です。高さ2センチの円錐について底面積をU、体積をXとすると
高さが2倍なら底面積は4（=2×2）倍、体積は8（=2×2×2）倍
高さが3倍なら底面積は9（=3×3）倍、体積は27（=3×3×3）倍
となることが見えてくると思います。
あとは高さ8の円錐の体積、高さ６の円錐の体積、高さ４の円錐の体積をXで表現して
高さ8の体積と高さ６の体積の引き算、高さ４の体積と高さ２の体積の引き算をして
体積比から水を入れる時間の比に置き換えましょう。

頑張ってください。

yuji3690 · Answer

難しかったですか（汗

簡単のために立方体で考えてみましょう。
縦横高さが１cmの立方体です。

そのまま大きくなって、1辺が10cmになったとします。
つまり1辺が10倍です。

底面積はどうでしょう？
1cm*1cm＝1cm2だったものが
10cm*10cm=100cm2になっています。
100倍です。つまり10＾2倍です。

体積はどうでしょう？
1cm*1cm*1cm＝1cm3だったものが
10cm*10cm*10cm=1000cm3になっています。
1000倍です。つまり10＾3倍です。

そのままの形で1辺がx倍になれば、どんなものでも面積ならx^2倍、体積ならx^3倍になります。

あとは分かっている数値と、全体を比べて、何が何対何になっているのかを考えます。
そして全体と、部分A（例えば水が入っている部分）と、残り（例えば水の入っていない部分）といった感じに分けて、どこなら分かるのか、どこを求めたいのか、を考えましょう。

1つ1つをきちんと計算できれば、そこまで難しく考えなくても大丈夫ですよ。
どのあたりが難しいと感じますか？

【数学】解き方が全く分かりません…わかる方解説お願いします！【円錐】【高校受験】【私立対策】

1➕1とおんなじ事ですよ

(1)

もう面倒だから、

1番のポイントは３つ。

難しかったですか（汗

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング