二次方程式の解の求め方についてです

(求める二次関数の解をα、βとした際)

α＞1かつβ＞1のときに
解の条件としてα+β＞2かつαβ＞1としてはいけない理由はなんでしょうか……？

「α+β＞2かつαβ＞1⇒α＞1かつβ＞1」
が成り立たないのはわかります(反例α=3、β=1/2)

しかし、
「α＞1かつβ＞1⇒α+β＞2かつαβ＞1」
は成り立つのではないですか？

どうしてこの条件は使えずに
(α-1)(β-1)＞0かつ(α-1)+(β-1)＞0としなければならないのでしょうか……。

解を求める際には必要十分条件しか使えないのですか？(α＞1かつβ＞1⇔(α-1)(β-1)＞0かつ(α-1)+(β-1)＞0)

支離滅裂な文章になってしまいましたが、回答よろしくお願い致します。
①解を求める際には必要十分条件しか使えないのか
②なぜα+β＞2かつαβ＞1としてはいけないのか

この二点についてです。よろしくお願い致します。

No.3 回答者： springside 回答日時： 2017/02/18 23:24

No.1の者です。

訂正です。

誤：となりますが、③で求まった『条件』は、まさにあなたが反例として挙げた
正：となりますが、Cで求まった『条件』は、まさにあなたが反例として挙げた

No.2 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/18 19:24

条件としてはいけないことはないのでは？

その条件だけじゃ解けないだけで。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2017/02/18 19:02

必要十分条件でなければならないのは当然です。

あなたの考えに沿うと、

A「問題が求めているのは、α＞1かつβ＞1となる『条件』だ」
↓
B「α＞1かつβ＞1⇒α+β＞2かつαβ＞1だ」
↓
C「それなら、α+β＞2かつαβ＞1が満たされるような『条件』を求めればいいはずだ」

となりますが、③で求まった『条件』は、まさにあなたが反例として挙げた「α=3、β=1/2」にもなってしまうような『条件』ですよね。
だから、α+β＞2かつαβ＞1と考えてはいけないのです。

つまり、BからAに行けないので、ダメなのです。
BからAに行くためには、Aが満たされるように、「？？？？？⇒α＞1かつβ＞1」となる「？？？？？」でないといけない訳で、それは、
「(α-1)(β-1)＞0かつ(α-1)+(β-1)＞0」な訳です。