中学の数学プリントの問題です。 返ABを軸として１回転させてできる立体の体積を求めましょう。 写真の

中学の数学プリントの問題です。
返ABを軸として１回転させてできる立体の体積を求めましょう。


写真の問題の解き方が分からず、数学の担任に聞いてみたところ、このような答えが帰ってきました。

上下の円錐の体積を求めます。
5×5×π×(12-x)×1/3+5×5×π×x×1/3
=5×5×π×1/3×(12-x+x)
=5×5×π×1/3×12
=5×5×π×4
=100π A.100π立方cm

担任にはせっかく手書きで解き方を書いて頂いたのですが、5×5×π×1/3×(12-x+x)で、何故「+」で繋がっていた両方が一つになるのか、よく分かりませんでした。
担任に聞けばいいと思うのですが、おずおずと「ここについてしっかり教えてください」などと言うのは少しばかり気が引けてしまいます。

そこで、今分からないと述べた部分への導き方について、詳しく教えて頂きたいと思うのです。
どうかよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： fine_day 回答日時： 2017/03/15 01:24

ab＋ac＝a(b＋c)

2xy＋4x＝2x(y＋2)
こういう式の変形を覚えていますか？
共通する数字や文字でくくって式を変形しています。
これと同じように計算式を整理します。

　5×5×π×(12-x)×1/3+5×5×π×x×1/3

＋の前と後ろの両方に「5×5×π×1/3」がありますよね。
長いのでこれをAに置き換えてみましょう。

　A×(12-x)+A×x

Aでくくってみます。

　A×{(12-x)+x}

これを整理すると
　
　A×{(12-x)+x}＝A×(12-x+x)＝A×12＝12A

xが消えました。
質問文にある式も同じように変形することで前と後ろの項をくっつけています。
Aを元に戻すと
　
　12A＝12×5×5×π×1/3＝100π

式を見やすくするためにAに置き換えましたが、
置き換えずに解けるなら手間が少なくて済みます。

　5×5×π×(12-x)×1/3+5×5×π×x×1/3
　　＝(25π/3)×(12-x)+(25π/3)×x
　　＝(25π/3)×{(12-x)+x}
　　＝(25π/3)×(12-x+x)
　　＝(25π/3)×12
　　＝100π

この回答へのお礼

皆様とても分かりやすい御解答、ありがとうございました。
皆様の中で一番分かりやすく詳細にまとめて下さった方をベストアンサーにさせて頂きました。

お礼日時：2017/03/15 11:17

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/03/15 07:24

共通項をくくってるだけです。

ab + ac = a(b+c) とやってるだけ。

4×5 + 4×6 = 20 + 24 = 44
4×5 + 4×6 = 4×(5 + 6)=4×11=44 で上と同じになるでしょう？

5×5×π×1/3が共通項だから、それでくくっているだけ。

No.2 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/03/15 01:33

三角形の高さが等しければ、三角形の面積は等しいのと同じです。

別の言い方をすれば、高さが同じ三角形が２つあるとすれば、「それぞれの底辺の合計」を底辺として面積を求めれば、２つの三角形の面積の合計に等しくなります。

CからABへ引いた垂線とABの交点をDとして、
△ADCと△BDCを別々に考えて体積を求めたものが、
5×5×π×(12-x)×1/3+5×5×π×x×1/3です。
5×5×π×1/3×(12-x+x)は、底面積が同じ2つの円錐を合体させ、高さ=AD+BD=ABとして考えていると言えます。
xがいくつであったとしても、ABの長さは決まっているので、計算できるというわけです。
DがAに一致する位置にあったとしても、Bに一致する位置にあったとしても、あるいは直線AB上で線分AB以外の場所にあったとしても、体積は変化しないのです。
△ABCの面積が変化しないので、それを360°回転させた体積も変化しないと言うわけですね。

分かりにくければ追加で聞いてください。