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 白色雑音のパワースペクトルと自己相関関数の関係
で分からないことがあります。
白色雑音の帯域制限のないパワースペクトルについて
、その自己相関関数がデルタ関数になる理由
帯域制限のあるパワースペクトルについて、自己相関
関数がシンク関数になる理由
 分かる人がいらっしゃたらどうぞ教えてください。

A 回答 (2件)

nikorin さんの書かれている通りですが,ちと簡単すぎるような...


蛇足かも知れませんが,補足です.

確率変数 x(t) の自己相関関数
(1)  φ(t) = <x(t0) x(t0+t)>
と,パワースペクトル I(ω)とは,フーリエ変換の関係
(2)  I(ω) = (1/2π)∫(-∞~∞) φ(t) exp(-iωt) dt
(3)  φ(t) = ∫(-∞~∞) I(ω) exp(iωt) dω
にあります.
これは,ウィーナー・ヒンチン (Wiener-Khinchin)の定理と名前がついています.

したがって,白色雑音
(4)  I(ω) = c  (for -∞ < ω < ∞)
なら
(5)  φ(t) = ∫(-∞~∞) c exp(iωt) dω = 2πc δ(t)
ですし,帯域制限があって
(6)  I(ω) = c  (for -ω0 < ω < ω0)
        0  (otherwise)
なら
(7)  φ(t) = ∫(-ω0~ω0) c exp(iωt) dω = 2c sin(ω0 t)/t
になります.

(5)と(7)の関係は,δ(x)が極限操作表現の一つが
(8)  δ(x) = lim (a→0) sin ax / πx
であることを思い出せば,なるほどど納得できると思います.
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パワースペクトルと相関関数は互いにフーリエ変換の関係にあるからです。

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