白色雑音のパワースペクトルと自己相関関数の関係
で分からないことがあります。
白色雑音の帯域制限のないパワースペクトルについて
、その自己相関関数がデルタ関数になる理由
帯域制限のあるパワースペクトルについて、自己相関
関数がシンク関数になる理由
 分かる人がいらっしゃたらどうぞ教えてください。

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A 回答 (2件)

nikorin さんの書かれている通りですが,ちと簡単すぎるような...


蛇足かも知れませんが,補足です.

確率変数 x(t) の自己相関関数
(1)  φ(t) = <x(t0) x(t0+t)>
と,パワースペクトル I(ω)とは,フーリエ変換の関係
(2)  I(ω) = (1/2π)∫(-∞~∞) φ(t) exp(-iωt) dt
(3)  φ(t) = ∫(-∞~∞) I(ω) exp(iωt) dω
にあります.
これは,ウィーナー・ヒンチン (Wiener-Khinchin)の定理と名前がついています.

したがって,白色雑音
(4)  I(ω) = c  (for -∞ < ω < ∞)
なら
(5)  φ(t) = ∫(-∞~∞) c exp(iωt) dω = 2πc δ(t)
ですし,帯域制限があって
(6)  I(ω) = c  (for -ω0 < ω < ω0)
        0  (otherwise)
なら
(7)  φ(t) = ∫(-ω0~ω0) c exp(iωt) dω = 2c sin(ω0 t)/t
になります.

(5)と(7)の関係は,δ(x)が極限操作表現の一つが
(8)  δ(x) = lim (a→0) sin ax / πx
であることを思い出せば,なるほどど納得できると思います.
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パワースペクトルと相関関数は互いにフーリエ変換の関係にあるからです。

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Qデルタ関数のフーリエ変換

デルタ関数をフーリエ変換するプログラムを作成したいと思っています。

フーリエ変換自体のプログラムは出来上がりました。(いくつかの計算例で確認しました。)

そこで質問ですが、デルタ関数はどのように入力すれば良いのでしょうか?

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F( 2 以降) =0
でしょうか?

デルタ関数をフーリエ変換すると、『1』になるのを確認したいと思っています。

プログラム言語は『Fortran』を使用しています。
以上、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

本物のデルタ関数は入力できません。
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変換してみるのがおもしろいと思いますよ。
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Q自己相関関数について

最初は不規則な波形で、途中からsin波のような周期的な波形になっているような信号があります。
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なぜこんな結果になったのかがわからず困っています。

そもそも、周期的な値をとっている部分だから大きくなる、というのが間違っているのでしょうか?
もしくは期待値をとる長さなど、設定が間違っているのでしょうか?

説明不足かもしれませんが、どなたか宜しくお願いします。

Aベストアンサー

定周期でサンプリングしたデータの自己相関関数は、絶対時間ではなく相対時間の関数になります

ですから、ピークの出た時間は、その時間分離れたデータと自己相関が高いことを意味します

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f(t)に対してf(t-n)とf(t+n) n=0,1,2,…の相関が自己相関でグラフ化したときの時間軸は nです(tと勘違いしているものと思います)

Qデルタ関数に関する質問です:

最近ネット上と講義中によく
「デルタ関数」が見えます。
1. デルタ関数はどのような関数ですか。
2. どう使用しますか。

何卒、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

 δ(デルタ)関数は最初、電気工学から理論物理学の門を叩いた物理学者ディラックが導入しました。

 例えば電磁気学の多くの式は、電荷密度の分布という概念に支えられています。電荷の元は電子で、それはもちろん密度ではありません。しかし目に見える物体は滅茶苦茶に沢山の電子を含んでいるので、体積当たりの電荷密度という考えを使っても、非常に良い近似が可能です。

 (密度でない)点電荷に対するクーロンの法則はご存知と思うのですが、帯電した物体から生じる電場を計算するには、物体内の全ての電子に対してクーロンの法則を適用し、電子の数だけ足す必要があります。このとき個々の電子を扱うのではなく電荷密度の概念を用いると、計算の見通しが非常に良くなります。

 それで電磁気学の基本式は、電荷密度の概念に基づいて定式化されました。ところが個々の電子(密度でない電荷そのもの)を扱う必要も、やっぱりあるのですよ。しかし電子のような「点電荷」は電荷密度の概念上では、体積0に0でない電荷量が集中したものなので、点電荷の電荷密度は無限大になって、電磁気学の基本式の適用がかなり面倒になります。

 δ関数導入以前にはこういう場合、点電荷である電子の位置はとりあえず除外し、基本式から必要な解を求めていました。でも解の原因である電子を考慮に入れていないので、この解には不定性(曖昧さ)がありました。

 不定性(曖昧さ)を除くためには、電子の位置まで解を延長し、うまく電子の点電荷量と辻褄が合うように「接続条件」を定める必要がありました。


 ディラックは上記のような計算において、点電荷の無限大密度をもし仮に使用したら、無限大密度は常に積分の中にしか現れない事に気づきます。電子の電荷量はふつうeで表されるので、それを体積0で割った密度e/0を、e/0=δ(s)(無限大)と書く事にします。sは電荷eを持つ電子の位置です。
※本当は、こんな計算はやっちゃいけなんのですけどね(^^)。

 実際に考えてみると意外な事に、δ(s)の積分に関して、

  ∫δ(s)dV=e,sは積分領域Vの内部にある   (1)

などは明らかです。ここで∫δ(s)dV=eの意味は、体積Vの中に電子が1個しかなかった時、その体積内の全部の電荷密度を合計したみたら、それは電子の電荷eに等しくなったという式です。当然ですよね?。それしかないのだから。

 同様に、

  ∫δ(s)dV=0,sは積分領域Vの外部にある   (2)

も当然です。体積Vの中は空なのだから。

 ただし(1)(2)より体積Vとして、電子の位置sを含むいかに小さな体積を取っても、(1)が成り立ちます。おおざっぱに言えば、位置sのみ含む大きさ0で体積でも、(1)が成り立ちます。その意味でδ関数の積分は異常ですが、非常に明解です。


 数学的には∫δ(s)dV=eではなく、

  ∫δ(s)dV=1,sは積分領域Vの内部にある   (1’)

の方が便利です。このとき(1)は、

  ∫eδ(s)dV=e∫δ(s)dV=e,sは積分領域Vの内部にある

と書けば良い事になります。


 ディラックはまさに(1’)と(2)を、そのまま理論物理の中に持ち込みました。しかし持ち込んでも何の役にも立たたなければ(1’)と(2)は、「無限大を強引に積分してみせただけ」の数学的には破綻している、取り扱い危険物にしか過ぎません。

 そうではなかったのは、(数学的根拠はないが)(1’)と(2)さえ認めれば、

  ∫f(x)・δ(s)dV=f(s),sは積分領域Vの内部にある   (3)

の数学的証明は、けっこう簡単だったからです。

 (3)がなぜ重要かというと、先に述べた「接続条件の結果」というのが、(3)の右辺そのものだったからです。みんな「接続条件の計算」に(3)のような単純さを望んでいたのに(意味を考えると、当然そうなると思えるのに)、誰も上手く定式化できませんでした。なのでδ関数は、かなり急速に受け入れられました。だって便利なんだもの・・・(^^;)。


 とは言え正しい結果を出すのなら、それを正当化する必要があります。それをやったのがシュワルツの超関数理論です。それを(改良?)したのが、佐藤超関数です。


 δ関数は今では、電磁気学や量子力学などの理論物理の世界だけのものではありません。土木工学の分野にだって浸透しています。

 点電荷を1点に集中した無限大の電荷密度と考えるように、1点に集中した構造物に作用する外力を土木工学では、無限大の荷重密度とみなし、集中荷重と呼びます。土木工学の基本式の多くは、荷重密度を基本としているからです。


 で、δ関数との実際上の付き合い方なのですが、以上の経緯から明らかなようにδ関数は、実用的に使うためにこそ導入されました。

 なのでシュワルツの超関数を知らなくても、(1’)と(2)と(3)さえ押さえておけば、実用的には十分だったりします・・・(^^;)。

 δ(デルタ)関数は最初、電気工学から理論物理学の門を叩いた物理学者ディラックが導入しました。

 例えば電磁気学の多くの式は、電荷密度の分布という概念に支えられています。電荷の元は電子で、それはもちろん密度ではありません。しかし目に見える物体は滅茶苦茶に沢山の電子を含んでいるので、体積当たりの電荷密度という考えを使っても、非常に良い近似が可能です。

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Qパワースペクトルのパワーの意味について

すごく基本的な質問です。 パワースペクトルとは、フーリエ変換の絶対値の二乗という定義だと理解しておりますが、なぜこれがパワーすなわち力になるのでしょう?
パワースペクトルのパワーの意味は力という意味ではなく、何か別な
概念を表しているのでしょうか?
上記の定義では、ディメンジョンがニュートンになるようには、思えないのですが。

Aベストアンサー

パワーというのは、日本語では「仕事率」のことです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%95%E4%BA%8B%E7%8E%87
ちなみに、力はフォース(force)です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%9B

パワースペクトル密度は次元というか単位でいうと、「W/Hz」で、1Hzあたりの仕事率(電力)になります。

QDIRACのデルタ関数

DIRACのデルタ関数について教えてください.

Aベストアンサー

ディラックのデルタ関数をxの関数として
δ(x)
と表すとします.
このときδ(x)は
x=0のみ(正確には限りなく幅が0に近い0の近傍)で0以外の値を取り,
そのほかの部分ではδ(x)=0
となるような関数です.
そして,0でδ(x)が取る値はとても大きく,0を含む範囲で積分をすれば,
幅が限りなく0に近いにもかかわらず,その積分値が1となります.

Qパワースペクトルとフーリエスペクトル

あるHPでパワースペクトルとフーリエスペクトルの違いについて調べたところ,パワースペクトルにT/2(Tは継続時間)を乗じたものがフーリエスペクトルであると説明されていました。
この説明は正しいのでしょうか。
回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

一般的には、「パワースペクトルはフーリエスペクトルの振幅の自乗」とされています。例えば次のように。
http://www.onosokki.co.jp/HP-WK/c_support/faq/cf5200/CF5200_time_spect.htm
この場合、「パワースペクトルにT/2(Tは継続時間)を乗じたものがフーリエスペクトルである」は次の二点で?????となります。
(1)Tは関係ない。
(2)フーリエスペクトルは複素数であり、それを位相情報のないパワースペクトルから逆算は出来ない。

分野によってはそのHPのような扱いをする場合があるのかもしれませんが。

Qデルタ関数をラプラス変換すると何故1になるか?

デルタ関数をラプラス変換すると何故1になるか?
わかり易く説明お願いします。

デルタ関数はt=0の時、∞になり
      t≠0の時、0である
のは理解しているのですが、どうもラプラス変換して何故1になるかが分かりません。
そういうものとして丸暗記するべきことなのでしょうか?

Aベストアンサー

実は0になるとはいえないのです

δ関数というのは
例えば
fε(t)=exp(-t^2/2/ε^2)/√(2・π)/ε
のように質のいい関数において
εを0に近づけたときの極限の関数なのです
実際には極限ではなく今考えている問題において十分0に近くすればいいでしょう
fε(t)でなくても質のいい関数ならば代わりの関数を持ってきてもεに相当するパラメータを0近くにすればほぼ同じ結果が得られるのです
シュワルツは形式的に矛盾しないようにδ関数を定義しましたが作為的なので彼の理論には問題があります
この点において佐藤さんの方が人気が有るようです

片側ラプラス変換では積分範囲が0から無限大なので1とするには無理があります
しかし両側ラプラス変換ならば1となるのです
だから片側ラプラス変換を使うのを止めたほうがいいでしょう

∫[-∞,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=1
ですが
∫[0,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=0,1/2,1,?
ですから
もし先のガウシアンを採用した場合は1/2です

Qパワースペクトル密度を加速度に換算できますか?

ランダム振動でパワースペクトル密度がありますが、これをサイン振動における加速度に換算することはできますでしょうか?
パワースペクトル密度で示された振動が、どれくらいのレベルの振動なのか直感的に理解できず、このように考えました。
または、なにか近似して考える方法はありますでしょうか?

Aベストアンサー

 A=(PSD*B)^(1/2)
     A:振幅[m]
     PSD:パワースペクトル密度[G^2/Hz]
     B:バンド幅[Hz]

計算方法は上記のものでよいと思います。

>なお、Aは全振幅(複振幅)と理解しております。

これは表示上の問題なので、どちらか判断できません。私は通常片振幅(0-p)で利用しています。

Gかm/s^2かは計測条件により変わりますので、どちらか判断できません。単純に係数だけの問題ですし。

Qデルタ関数

ディラックのデルタ関数に以下の関係式があると参考書に載っていました。
δ(ax) = δ(x)/a (where a>0)

上記の関係式ですが、成り立つxの範囲に制限はあるのでしょうか?

どうもイメージ的にデルタ関数は0付近で急激にあがり、上記の式が成り立たないのではないかと思ってしまっています。

Aベストアンサー

(★)δ(ax)=δ(x)/a

はx≠0では両辺とも0で明らかに成り立ちます.問題は原点付近です.理想的なδ関数の場合は∞になる点が原点に集中してしまうのでよくわかりにくいと思います.

そこで近似的δ関数で考えましょう.すなわちε>0をとり,底辺ε,高さ1/εの長方形のグラフをあらわす関数をδ_ε(x)とします.すなわち

(1)δ_ε(x)={θ(x)-θ(x-ε)}/ε

ここにθ(x)はヘビサイド関数

θ(x)=1(x>0),0(x<0)

です.ε→+0とすればδ_ε(x)はδ(x)になります.

a>0として

δ_ε(ax)={θ(ax)-θ(ax-ε)}/ε

={θ(ax)-θ(a(x-ε/a))}/ε

a>0なので

θ(ax)=1(x>0),0(x<0)

すなわちθ(ax)=θ(x)であり,

(2)δ_ε(ax)={θ(x)-θ(x-ε/a)}/ε

=(1/a){θ(x)-θ(x-ε/a)}/(ε/a)

(1)でεをε/aに置き換えると

(☆)δ_ε(ax)=(1/a)δ_{ε/a}(x)

右辺からδ_ε(ax)は0~ε/aに面積1/aが集中していることがわかります.つまり,δ_ε(x)に比べてδ_ε(ax)はピークの幅が1/aになりその結果ピークの面積も1/aになります.(横に圧縮)

実はこれは一般に言えることです.f(x)のグラフに山があってその広がりが⊿,高さがhならば,f(ax)の場合その山の幅は⊿/aで高さは変わりません.したがってf(x)の山の面積S≒h⊿/2,f(ax)の山の面積(1/2)h⊿/a=S/aになります.

☆においてε→+0とすると,★となります.

理想的なδ関数になると,ピーク幅は0になってしまうので(☆)のような解釈はできず,xの範囲に制限はなくいつでも成り立つしか言いようがありません.

δ関数を例えば電気回路のインパルスのモデルとして実用的に使うときなどは,パラメータεなどを用いた(1)のような式で解釈すると結構その振る舞いを納得できることが多いです.

(★)δ(ax)=δ(x)/a

はx≠0では両辺とも0で明らかに成り立ちます.問題は原点付近です.理想的なδ関数の場合は∞になる点が原点に集中してしまうのでよくわかりにくいと思います.

そこで近似的δ関数で考えましょう.すなわちε>0をとり,底辺ε,高さ1/εの長方形のグラフをあらわす関数をδ_ε(x)とします.すなわち

(1)δ_ε(x)={θ(x)-θ(x-ε)}/ε

ここにθ(x)はヘビサイド関数

θ(x)=1(x>0),0(x<0)

です.ε→+0とすればδ_ε(x)はδ(x)になります.

a>0として

δ_ε(ax)={θ(ax)-θ(ax-ε)}/ε

={θ(ax)-θ(a(x-ε/a))}/ε

a>0な...続きを読む

Q色の全色の光を集めると白色になりますよね?白色の光は存在しないといいま

色の全色の光を集めると白色になりますよね?白色の光は存在しないといいますが、
この時白、色の光はなんて言えば良いのでしょう?

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白色光という名称は物理学で使われています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BD


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