自己相関関数

　白色雑音のパワースペクトルと自己相関関数の関係
で分からないことがあります。
白色雑音の帯域制限のないパワースペクトルについて
、その自己相関関数がデルタ関数になる理由
帯域制限のあるパワースペクトルについて、自己相関
関数がシンク関数になる理由
　分かる人がいらっしゃたらどうぞ教えてください。

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2001/06/30 00:41

nikorin さんの書かれている通りですが，ちと簡単すぎるような...

蛇足かも知れませんが，補足です．

確率変数 x(t) の自己相関関数
(1)　　φ(t) = <x(t0) x(t0+t)>
と，パワースペクトル I(ω)とは，フーリエ変換の関係
(2)　　I(ω) = (1/2π)∫(-∞～∞) φ(t) exp(-iωt) dt
(3)　　φ(t) = ∫(-∞～∞) I(ω) exp(iωt) dω
にあります．
これは，ウィーナー・ヒンチン (Wiener-Khinchin)の定理と名前がついています．

したがって，白色雑音
(4)　　I(ω) = c　　(for -∞ < ω < ∞)
なら
(5)　　φ(t) = ∫(-∞～∞) c exp(iωt) dω = 2πc δ(t)
ですし，帯域制限があって
(6)　　I(ω) = c　　(for -ω0 < ω < ω0)
　　　　　　　 0　　(otherwise)
なら
(7)　　φ(t) = ∫(-ω0～ω0) c exp(iωt) dω = 2c sin(ω0 t)/t
になります．

(5)と(7)の関係は，δ(x)が極限操作表現の一つが
(8)　　δ(x) = lim (a→0) sin ax / πx
であることを思い出せば，なるほどど納得できると思います．

No.1 回答者： nikorin 回答日時： 2001/06/29 10:47

パワースペクトルと相関関数は互いにフーリエ変換の関係にあるからです。