この2題もお願いします！

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No.1 回答者： ステレン 回答日時： 2017/04/23 00:58

自分で考えないと学習しないよー

No.2 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/04/23 10:52

(1)

問題の通り、z=a+biと置いて計算してみましょう。
3(a+bi)-3i=i(a+bi)+5
3a+3bi-3i-ai+b-5=0
iを含むものと含まないものでくくって、
(3a+b-5)+(3b-3-a)i=0
これは、左辺の実数部も虚数部も0である事を意味しているので、
3a+b-5=0
3b-3-a=0
という2つの方程式を満たす事になります。
簡単な連立方程式なので解けますよね？

(2)
単純に計算しましょう
z^3=((1+√3i)/2)^3
=(1^3+(√3i)^3+3(1^2*√3i+1*(√3i)^2))/2^3
=(1-3√3i+3(√3i-3))/8
=(-8)/8
=-1

z^2+z+1=((1+√3i)/2)^2+(1+√3i)/2+1
=(1+2√3i-3)/4+(1+√3i)/2+1
=(-2+2√3i+2+2√3i+4)/4
=(4+4√3i)/4
=1+√3i

z^4+z^3+z^2=(z^2+z+1)z^2
=(1+√3i)(-1+√3i)/2
=-(1^2-(√3i)^2)/2
=-(1+3)/2
=-2

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2017/04/23 12:07

（2）ｚの三角関数表示をつかうと、ｚ＝cos60°+isin60°　なので

ドモアブルの定理より、
ｚ³＝（cos60°+isin60°)³＝cos180°+isin180°＝－1、
つぎにｚ³＋1＝(ｚ＋1)(ｚ²－ｚ＋1)において
上の答えからｚ³＋1＝0、ｚ＋1≠0だからｚ²－ｚ＋1＝0、ｚ²＋1＝ｚ
したがって、ｚ²＋ｚ＋1＝2ｚ＝1＋√3ｉ
最後に、ｚ³＝－1よりｚ⁴＝－ｚ、これらとｚ²－ｚ＋1＝0とより
ｚ⁴＋ｚ³＋ｚ²＝－ｚ－1＋ｚ²＝ｚ²－ｚ＋1－2＝－2

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/24 13:48

1) 3zー3i =iz+5 より

(3ーi)z=3i +5
∴ z=(3i+5)/(3ーi) =
分母、分子に3+iを掛けると
分母=(3ーi)(3+i)=9ーi^2=9ー(ー1)=10
分子=(3i+5)(3+i )=9i+15+3i^2+5i=(9+5)i+15ー3=12+14 i
よって、分子/分母わかりますね！

2) z=(1+√3 i)/2 より 2z=1+√3 i ∴ 2zー1=√3 i
二乗して 4z^2ー4z+1=(√3 i)^2=ー3
∴ 4z^2ー4z+4=0
∴ z^2ーz+1=0
∴ z^2=zー1 …(1)
.=(√3 iー1)/2 …(2)
z^3=z^2・z=(zー1)z=z^2ーz=(zー1)ーz=ー1

z^2 ＋z+1=(zー1)+z+1=2z =1+√3 i

z^4+z^3+z^2=z^2 (z^2 ＋z+1)=(zー1)2z=2(z^2ーz)=2(zー1ーz)=ー2

次数を下げる式を利用ししましょう！

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/24 15:15

複素数x+y i =x ・ E+y・ I (ただし、E は単位行列 I は、複素行列 とする)

z^3=z・z^2= … = ー E
より、x= ー1 …Ans(1)
z^4=z・z^3= ー E・z= ー z =(1/2) (ー E ー√3 I )
よって
z^2+z+1は、行列では、1 は、E になるから
z^2+z+E=(1/2)( ーE +√3 I )+(1/2)( E +√3 I )+E=E +√3 I
より、 x=1 y=√3 従って 1+√3 i …Ans(2)
また、z^4+z^3+z^2=(1/2)(ー Eー√3 I)ーE+(1/2)(ーE+√3 I )=ー2 E
より x= ー2 …Ans(3)

過去に、広島大学の入試(旧過程)に出ている！

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/24 15:37

言葉の訂正します！

I は、複素行列ではなく、虚数行列 に、そして
複素数行列は、スカラー倍の単位行列と 虚数行列の和とします！

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/24 15:48

旧過程の 回転行列が、No5 の 行列 z に対応します。

行列とドモアブルの定理の融合ですね！