微分方程式重ね合わせの原理

Question

工学部機械科一年生です。

いま、単振動の微分方程式を解くところをやっています。
解がx1(t)=sinωt   x2(t)=cosωt
の二つが推測できるというのはわかります。

しかし、このあとで一般解を求めるのに重ね合わせの定理というのが出てきて、なぜこれが成り立つのかわかりません。

定理と書いてあるので、自分で証明したは方がいいのでしょうが、その証明方法がわからないのでわかりやすく教えてください！

また、この定理を皆さんは覚えていますか？
それとも、覚えないで理解した方がいいものですか？

syotao · Accepted Answer

はい、は～い
専門の勉強と数学の勉強がかさなってたいへんだろうけど
がんばって！
はい、またお手伝いしますね（＾＾);

syotao · Answer

なるほど、おっしゃることはわかりました。
新入生のかたにとっては、大学の数学と高校の数学のつながりがあまりよくないので
なにか違和感があるのですね。

ぼくらのときは（いまもそうかな）、先生が
工科の学生はそのへんは余り気にせずに、どんどん触れていって
使えるようになれ！

なんてよく言われたもんです。
ひょっとして、先生もこまかい証明の仕方は知らなかったのかも（笑）。

前ふり長すぎました（笑）

実はあれから数学書をしらべてみました。それで以下のように考えてみてはと：
あまりうまい説明ではないので、参考程度に、

もちろんご存じのように
表題の問題は、微分方程式
ｘ”＋ω²ｘ＝0　（めんどいので時刻ｔの微分を’や”で代用します。それぞれ1回、２回微分のことです。）
の一般解の話ですね。

この方程式の解ｘは、もちろんｘ’が存在するので、つぎのようにｔの関数Ｃ₁(ｔ)、Ｃ₂(ｔ)を
定義することができます、つまり
ｘ＝Ｃ₁(ｔ)sinωt＋Ｃ₂(ｔ)cosωt
ｘ’＝Ｃ₁(ｔ)ωcosωt＋Ｃ₂(ｔ)(－ω)sinωt
これはsinωt、cosωt　　　　　の行列式が、－ω≠0　なので可能な定義です。
　　　ωcosωt、(－ω)sinωt
実際Ｃ₁(ｔ)、Ｃ₂(ｔ)についてといてみると、それぞれ分母は　－ωで、分子は
ｘ、ｘ’、ω、sinωt、cosωtだけを含んだ式になります。
それでｘ”も存在するので、このように表現したＣ₁(ｔ)、Ｃ₂(ｔ)については
それぞれ１回微分可能で、実際Ｃ₁’(ｔ)、Ｃ₂’(ｔ)を計算してみてそれぞれの分母を整理すると
ｘ”＋ω²ｘという因数がでてくるので分母は0になってしまうのです。
つまりｔによらず、Ｃ₁’(ｔ)、Ｃ₂’(ｔ)がそれぞれ0なので、Ｃ₁(ｔ)、Ｃ₂(ｔ)がそれぞれ
定数でなければならないというわけです。
つまりこの微分方程式の解は、あの知られた形でないといけないということです。

余りに長くなるのでくわしい計算ははぶきました。
ぜひ、主さんの方で必要な計算をしてもらって、ここの論点を確認してみてください。

tknakamuri · Answer

どんな微分方程式でも重ね合わせが成り立つわけではありません。
斉次線型微分方程式は重ね合わせの定理が成り立ちます。

この形の微分方程式で重ね合わせが成り立つのは式の形を
見れば一目瞭然です。証明するまでもありません。

syotao · Answer

ぼくもそうですが、工科系の人間には微分方程式（特に線形方程式）は
商売道具のようなもんです。だからその道具について
きっちり理解、記憶しておく必要があるのです。

解がほんとにそうか確認することは一見ばかばかしく思えますが
そういう動作が記憶を定着させると思うのです。

ナッキーナッキー · Answer

「重ね合せの定理（または、原理）」は斉次線形微分方程式（または、線形斉次微分方程式）で成り立つものです(^^)
斉次線形微分方程式とは、
y" + ay' + by =0 
で表される微分方程式の事です（簡単のため、２階定数係数の微分方程式を書いておきました）。
この方程式の解をy=u1,u2 としておきます。
すると、この微分方程式に代入して
(u1)" + a(u1)' + b(u1)=0
(u2)" + a(u2)' + b(u2)=0
ですね(^^)
さて、y=c1(u1) + c2(u2) （一般解）　c1,c2:任意定数
を微分方程式の左辺に代入してみます。
（左辺）={c1(u1) + c2(u2)}" + a{c1(u1) + c2(u2)}' + b{c1(u1) + c2(u2)}
これを整理すると、
（左辺）=c1{(u1)" + a(u1)' + b(u1)} + c2{(u2)" + a(u2)' + b(u2)}
これは、明らかに
（左辺）=0
ですね(^^)

単振動の場合、変位xを時刻t で微分する事になりますが、
d^2x/dt^2 + kx =0 
ですから、斉次線形微分方程式になっています(◎◎！)

多分、証明が出来なかったのは、あらゆる微分方程式について成り立つと考えたからではないでしょうか？(^^;)

で、この定理を憶えているかって話ですが、憶えるっーよりも、微分方程式の式の形から、当然だよねって見ている・・・そんな感じです(^^A)

参考になれば幸いです(^^v)

syotao · Answer

Ｃ₁、Ｃ₂を任意定数として
ｘ＝Ｃ₁sinωt＋Ｃ₂cosωt　を方程式に入れて実際、解になるのを実感して、おぼえてください。

微分方程式 重ね合わせの原理

はい、は～い

なるほど、おっしゃることはわかりました。

どんな微分方程式でも重ね合わせが成り立つわけではありません。

ぼくもそうですが、工科系の人間には微分方程式（特に線形方程式）は

「重ね合せの定理（または、原理）」は斉次線形微分方程式（または、線形斉次微分方程式）で成り立つものです(^^)

Ｃ₁、Ｃ₂を任意定数として

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

微分方程式重ね合わせの原理