この問題がわかりません。

統計学の問題です。
f(x)={α(3-x) (0<x<3) , 0 (x≦0,x≦3)}

（１）αの値を求めよ。
（２）分布関数F(x)を求めよ。
（３）平均E(X)、分散V(X)、標準偏差６(X)を求めよ。


（２）を計算するときに、積分を使うのは何でですか？どう考えれば積分を使うことに行き着くんでしょうか？

この確率分布の問題、全体的に積分をよく使うようにみえるんですが、なぜですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/30 00:16

f(x) は「確率密度関数」ですか？

「確率密度関数」なら、変数の全定義域で積分すると「1」になります。「確率」ですから。

(1) f(x) が「確率密度関数」なら
　∫[0→3]f(x)dx = 1
なので、
　∫[0→3]f(x)dx
= ∫[0→3]α(3-x)dx
= [ 3αx - (α/2)x^2 ][0→3]
= 9α - (9/2)α
= (9/2)α

これが「1」になるので
　(9/2)α = 1
より
　α = 2/9

(2) ただの「分布関数」といえば、「累積分布関数」のことを言います。
つまり
　F(x) = Px(-∞, x)
= ∫[0→x]f(t)dt
= ∫[0→x][ (2/9)(3 - t) ]dt
= [ (2/3)t - (1/9)t^2 ][0→x]
= (2/3)x - (1/9)x^2

(3) 平均値 E(x) は「期待値」とも言います。この場合には 0<x<3 のいくつが「出やすいか」みたいなものです。
　E(x) = ∫[0→3]x*f(x)dx
= ∫[0→3][ (2/3)x - (2/9)x^2 ]dx
= [ (1/3)x^2 - (2/27)x^3 ][0→3]
= 3 - 2
= 1

分散は、平均値からの「ばらつき」。
　V(x) = ∫[0→3](x - E(x))^2*f(x)dx
= ∫[0→3](x - 1)^2*f(x)dx
= ∫[0→3](x^2 - 2x + 1)*[ (2/9)(3 - x) ]dx
= (2/9)∫[0→3](x^2 - 2x + 1)*(3 - x)dx
= (2/9)∫[0→3]( -x^3 + 5x^2 - 7x + 3)dx
= (2/9)[ -(1/4)x^4 + (5/3)x^3 - (7/2)x^2 + 3x ][0→3]
= (2/9)( -81/4 + 45 - 63/2 + 9)
= (2/9)( -207/4 + 54)
= -23/2 + 12
= 1/2

標準偏差は、分散の平方根で
　σ = √V(x) = √(1/2) = √2 /2

計算間違いがあるかもしれないので、ご注意ください。

＞（２）を計算するときに、積分を使うのは何でですか？どう考えれば積分を使うことに行き着くんでしょうか？

（２）の「累積分布関数」は、それこそ「累積」なので積分そのものです。
なお、（２）だけでなく、すべてで積分を使いますよ。
「分布」は、縦軸が「度数」（度数分布の場合）、あるいは「確率」（確率分布の場合）ですから、変数で積分すれば「度数の合計」「確率の合計」が求まります。全体の度数の合計は「総数」、全体の確率の合計は「1」になります。

この回答へのお礼

早い回答、ありがとうございました。

あの、（２）がまだわかりません。

なぜ０→ｘを考えるのでしょう？

お礼日時：2017/05/30 00:40

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/31 00:52

No.1です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞（２）がまだわかりません。
＞なぜ０→ｘを考えるのでしょう？

（２）が「累積」分布関数だからです。

「累積」分布関数ですから、F(x) の値は f(x) の -∞～x の累積値です。連続量の「累積」とは「積分」のことですから、 f(x) を -∞～x で積分したものが F(x) になります。
y=f(x) のグラフを書いて、F(x) は -∞～x の範囲で y=f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積ということです。

f(x)={α(3-x) (0<x<3) , 0 (x≦0,x≦3)}

ということは、-∞ < x < 0 の累積は「0」です。従って、「 -∞～x の範囲での累積」は「 0～x の範囲での累積」と等価です。x<0 では f(x)=0 なのですから。
従って、x<0 では F(x)=0 です。

0 ≦ x で初めて F(x) は値を持ち始めます。

F(x) の値は x=0～3 の間は単調増加します。

x=3 で F(3) =1 になり、3 ≦ x ではず～っと F(x) = 1 のままでこれ以上増えません。

分かりますか？
お使いのテキストにも書いてあるとは思いますが、こんな解説を読んで、それでも分からなかったらまた質問してください。
https://bellcurve.jp/statistics/course/6708.html

この回答へのお礼

すごくわかりやすいです！
私のテキストは、公式と問題と略解しかないものなので、何も情報がありません。
毎授業後、統計系が得意な友だちに聞いたり、先生に聞いたり、ネットで自分で調べたりして理解しています。数学もドイツ語もそうです。
これからもこのサイトを利用して頑張ろうと思ってます。
早い回答ありがとうございました(*^^*)

お礼日時：2017/05/31 06:59