問題の解説なのですが、途中式が省かれすぎていて私にはわかりません。 わかりやすく教えていただけないで

問題の解説なのですが、途中式が省かれすぎていて私にはわかりません。
わかりやすく教えていただけないでしょうか？

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/06/15 06:26

k²(k+1)=k³+k²はokなんでしょう？

Σk³={(1/2)n(n+1)}²は公式だから覚える。
Σk²=(1/6)n(n+1)(2n+1)も公式だから覚える。

この続きから知りたいのかなぁ？

{(1/2)n(n+1)}²＝(1/2)²{n(n+1)}²=(1/4)n(n+1)n(n+1)

{(1/2)n(n+1)}²+(1/6)n(n+1)(2n+1)=
(1/4)n(n+1)n(n+1) + (1/6)n(n+1)(2n+1)

1/4と1/6を通分すると　3/12 と 2/12になるから=
3n(n+1)n(n+1)/12 + 2n(n+1)(2n+1)/12

分子のn(n+1)が共通だから、これでくくると
n(n+1){3n(n+1) + 2(2n+1)}/12

{}の中を計算する。
3n(n+1) + 2(2n+1)=3n²+3n+4n+2=3n²+7n+2=(n+2)(3n+1)

これを{}の中に戻す。
n(n+1){3n(n+1) + 2(2n+1)}/12＝
n(n+1)(n+2)(3n+1)/12

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/06/15 11:45

http://examist.jp/mathematics/sequence/sigma-syo …

Σ【k:1-n】k^2(k+1)=Σ【k:1-n】(k^3+k^2)=Σ【k:1-n】k^3+Σ【k:1-n】k^2
公式より
=｛(1/2)n(n+1)｝^2+(1/6)n(n+1)(2n+1)
=(1/4)n^2(n+1)^2 +(1/6)n(n+1)(2n+1)
=(3/12)n^2(n+1)^2 +(2/12)n(n+1)(2n+1)
ここで、(1/12)n(n+1)でまとめると
=(1/12)n(n+1) ・｛3n(n+1)+2(2n+1)｝
=(1/12)n(n+1)・(3n^2+3n+4n+2)
=(1/12)n(n+1)・(3n^2+7n+2)
タスキ掛け
1…2 →6
3…1 →1
合計 7
=n(n+1)(n+2)(3n+1)/12

尚、、Σk^3も上記のサイトと同じ方法で証明してみよう！また、
大学1年の解き方も参考まで！

Σ【k:1-n】(k^3+k^2)=Σ【k:1-n】｛(kー1)k(k+1)+k(k+1)｝
=［⊿-1 (k+1)^〔3〕+(k+1)^〔2〕］【n…1】
= ［(1/4)・(k+1)*〔4〕+(1/3)・(k+1)*〔3〕］【n+1→1】
=［(1/4)・(k+1)k(kー1)(kー2)+(1/3)・(k+1)k(kー1)］【n+1→1】
=(1/4)(n+2)(n+1)n(nー1)+(1/3)(n+2)(n+1)n
=(1/12)｛3(nー1)+4｝(n+2)(n+1)n
=(n+2)(n+1)n(3n+1)/12 ……Ans