この写真の481の(2)の解き方を教えてください!
明日の小テストの範囲なんですが、解答にはlog2としかありませんでした。
どうやって解くのか教えてください!
お願いします。

「この問題の解き方を教えてください!」の質問画像

A 回答 (3件)

区分求積法の問題になりますが、答えは本当にlog2ですか?


計算したら、log(3/2)になりましたが...。

lim[n→∞] (1/n)Σ[k:n→2n](n+1)/(n+k)
=lim[n→∞] (1/n){ Σ[k:1→2n](n+1)/(n+k) - Σ[k:1→n-1](n+1)/(n+k) } ←[n→2n]を、[1→2n]-[1→n-1]としています。
=lim[n→∞] (1/n){ Σ[k:1→2n]{ 1/(1+(k/n)) + 1/n(1+(k/n)) } - Σ[k:1→n-1]{ 1/(1+(k/n)) + 1/n(1+(k/n)) } ←下記※
=lim[n→∞] (1/n)Σ[k:1→2n]1/(1+(k/n)) + (1/n)(1/n)Σ[k:1→2n]1/(1+(k/n)) - (1/n)Σ[k:1→n-1]1/(1+(k/n)) - (1/n)(1/n)Σ[k:1→n-1]1/(1+(k/n))
=∫[x:0→2] 1/(1+x) dx + lim[n→∞](1/n)∫[x:0→2] 1/(1+x) dx - ∫[x:0→1] 1/(1+x) dx - lim[n→∞](1/n)∫[x:0→1] 1/(1+x) dx
=(log3 - log1) + 0 -(log2 - log1) + 0 ←定積分に1/nが掛かっている項は0に収束する
=log3 - log2
=log(3/2)

※上記で、(n+1)/(n+k)を、n/(n+k) + 1/(n+k)と分解し、さらに、第1項は分母分子をnで割り、第2項は分母のnをくくり出して、
1/(1+(k/n)) + 1/n(1+(k/n))と変形しています。
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この回答へのお礼

すいません、答えはlog3/2でした。
皆さんありがとうございます。
ベストアンサーは答えが一番詳しかったこの方にしました。

お礼日時:2017/06/21 02:26

与えられた式={(n+1)/n}Σ(1/n+k) となり、


Σ(1/n+k)=(1/n)Σ{(1/(1+k/n)}と変形できて、この分母はkがnから2n
まで動くとき2から3まで1/nきざみで動くから、定積分の定義より
limΣ(1/n+k)=∫dx/x(積分範囲は2から3)=log(3/2)
また、(n+1)/n→1 だから
求める極限値はlog(3/2)です。
ちなみにlog2は(1)の答えです。(笑)
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左の(1)にならって、Σを1から2nまでのと、1からn-1までのとの差にすればどうですか?


うまくいかなかったらごめんなさい。
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