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△ABCの重心をG,任意の点をOとするとき

AG^2+BG^2+CG^2=OA^2+OB^2+OC^2-3og^2 であることを証明せよという問題で写真はどのような方法で回答しているか教えて下さい。

「△ABCの重心をG,任意の点をOとすると」の質問画像

A 回答 (4件)

重心及びベクトルの内積の定義に従って、変形して証明しているだけ!

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(左辺) =AG^2+BG^2+CG^2


(右辺) =OA^2+OB^2+OC^2-3OG^2

まず、ベクトルの確認をしておく。
↑AG =↑AO +↑OG =-↑OA +↑OG =↑OG -↑OA
同様に、
↑BG =↑BO +↑OG =-↑OB +↑OG =↑OG -↑OB
↑CG =↑CO +↑OG =-↑OC +↑OG =↑OG -↑OC

ここで
↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=↑c、↑OG=↑g とおけば、
↑AG =↑g -↑a
↑BG =↑g -↑b
↑CG =↑g -↑c
と表されるから、

(左辺) - (右辺)
=AG^2+BG^2+CG^2 - (OA^2+OB^2+OC^2-3OG^2)
=|↑AG|^2 +|↑BG|^2 +|↑CG|^2
- {|↑OA|^2 +|↑OB|^2 +|↑OC|^2 -3|↑OG|^2}
=|↑g -↑a|^2 +|↑g -↑b|^2 +|↑g -↑c|^2
- {|↑a|^2 +|↑b|^2 +|↑c|^2 -3|↑g|^2}
=|↑g|^2 -2↑g・↑a +|↑a|^2
+|↑g|^2 -2↑g・↑b +|↑b|^2
+|↑g|^2 -2↑g・↑c +|↑c|^2
- |↑a|^2 -|↑b|^2 -|↑c|^2 +3|↑g|^2
=3|↑g|^2 +|↑a|^2 +|↑b|^2 +|↑c|^2
-2(↑g・↑a +↑g・↑b +↑g・↑c )
-|↑a|^2 -|↑b|^2 -|↑c|^2 +3|↑g|^2
=3|↑g|^2 +3|↑g|^2
-2(↑g・↑a +↑g・↑b +↑g・↑c )
=6|↑g|^2
-2↑g・(↑a +↑b +↑c )
=6|↑g|^2 -2↑g・3↑g    :(↑a +↑b +↑c=3↑gより)
=6|↑g|^2 -6|↑g|^2
=0

したがって、(左辺) = (右辺) が成り立つ。



確認のため、より丁寧に計算してみましたが、
やったことは、(左辺) - (右辺) =0 から
(左辺) = (右辺) を証明しただけですね。
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どのような方法も何も、A=Bを証明せよという問題で、A-B=0を示しているだけ。


その過程で、ベクトルの計算を行っている。このベクトルの計算は、機械的な単純計算で、見たまんま。
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方法も何も、地道に計算しているだけですね。


(a+b+c)/3= g さえわかっていれば、後は機械的に解くだけ。
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∴b-1 <-1。
∴(a-1)(b-1)>2
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公的な研究機関の研究者です。
純粋数学の研究ではないのですが、数学をかなり使います。

数学的には、あなたが完全に正しいです。
数学的には、先生が完全に間違っています。
(一切の余地なくです)

「=」の記号は方程式を意味し、方程式は「両辺が等しいこと」以外の意味は一切持ちません。
「段落の使い方」や「幅」や「改行」によって、異なる意味を持たせるなどというルールは
ありません。
(「=」の記号を、世間の定義とは別に新たに定義すれば別です。)

ですが、そういう先生は、自分の間違いを認めません。
表面的でいいですから、間違いを受け入れましょう。
別の先生に言ったところで、その先生のプライドを傷つけて、目をつけられるだけです。

数学は、「正しいこと」が理解できていれば十分です。
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数学なんですから、正しければそれでいいんです。
テストの紙に「×」って書いてあっても、正しいものは正しいです。
入試とかじゃないのならば、それでいいじゃないですか。

「大嫌いなあの先生に一泡吹かせる」
が目的ならば、追求すればいいですが、
「何が正しいのかを知りたい」
のであれば、あなたが100%正しいので、安心して、次の問題に取り組んでください。

ただ、「慣例」というものがあって、
「数学的には完全に正しいけど、記述方法として好ましくない」
というものはあります。

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「○にある変数を代入したら□になりました」
みたいな印象を与えます。
そういう意味で、
「正しいけれど、慣例に従ったほうが良い」
として間違いにしたのならば、少し理解できます。
が、やはり数学的には正しいので、数学の問題である以上
「間違い」には出来ないと思います。

公的な研究機関の研究者です。
純粋数学の研究ではないのですが、数学をかなり使います。

数学的には、あなたが完全に正しいです。
数学的には、先生が完全に間違っています。
(一切の余地なくです)

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「段落の使い方」や「幅」や「改行」によって、異なる意味を持たせるなどというルールは
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