△ABCの重心をG,任意の点をOとするとき

AG^2+BG^2+CG^2=OA^2+OB^2+OC^2-3og^2 であることを証明せよという問題で写真はどのような方法で回答しているか教えて下さい。

「△ABCの重心をG,任意の点をOとすると」の質問画像

A 回答 (4件)

重心及びベクトルの内積の定義に従って、変形して証明しているだけ!

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(左辺) =AG^2+BG^2+CG^2


(右辺) =OA^2+OB^2+OC^2-3OG^2

まず、ベクトルの確認をしておく。
↑AG =↑AO +↑OG =-↑OA +↑OG =↑OG -↑OA
同様に、
↑BG =↑BO +↑OG =-↑OB +↑OG =↑OG -↑OB
↑CG =↑CO +↑OG =-↑OC +↑OG =↑OG -↑OC

ここで
↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=↑c、↑OG=↑g とおけば、
↑AG =↑g -↑a
↑BG =↑g -↑b
↑CG =↑g -↑c
と表されるから、

(左辺) - (右辺)
=AG^2+BG^2+CG^2 - (OA^2+OB^2+OC^2-3OG^2)
=|↑AG|^2 +|↑BG|^2 +|↑CG|^2
- {|↑OA|^2 +|↑OB|^2 +|↑OC|^2 -3|↑OG|^2}
=|↑g -↑a|^2 +|↑g -↑b|^2 +|↑g -↑c|^2
- {|↑a|^2 +|↑b|^2 +|↑c|^2 -3|↑g|^2}
=|↑g|^2 -2↑g・↑a +|↑a|^2
+|↑g|^2 -2↑g・↑b +|↑b|^2
+|↑g|^2 -2↑g・↑c +|↑c|^2
- |↑a|^2 -|↑b|^2 -|↑c|^2 +3|↑g|^2
=3|↑g|^2 +|↑a|^2 +|↑b|^2 +|↑c|^2
-2(↑g・↑a +↑g・↑b +↑g・↑c )
-|↑a|^2 -|↑b|^2 -|↑c|^2 +3|↑g|^2
=3|↑g|^2 +3|↑g|^2
-2(↑g・↑a +↑g・↑b +↑g・↑c )
=6|↑g|^2
-2↑g・(↑a +↑b +↑c )
=6|↑g|^2 -2↑g・3↑g    :(↑a +↑b +↑c=3↑gより)
=6|↑g|^2 -6|↑g|^2
=0

したがって、(左辺) = (右辺) が成り立つ。



確認のため、より丁寧に計算してみましたが、
やったことは、(左辺) - (右辺) =0 から
(左辺) = (右辺) を証明しただけですね。
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どのような方法も何も、A=Bを証明せよという問題で、A-B=0を示しているだけ。


その過程で、ベクトルの計算を行っている。このベクトルの計算は、機械的な単純計算で、見たまんま。
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方法も何も、地道に計算しているだけですね。


(a+b+c)/3= g さえわかっていれば、後は機械的に解くだけ。
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