高校の正弦・余弦定理の問題です。 △abcにおいて、∠b=45°、∠c=60°、ac=8のとき、bc

高校の正弦・余弦定理の問題です。

△abcにおいて、∠b=45°、∠c=60°、ac=8のとき、bcの長さを求めよ。

課題として出ているため、至急解き方＆解答をお願いします。

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/03 12:04

勿論、初等幾何学として、どちらの定理も使わずに

Aから垂線を降ろした点をDとすると、
∠DAC=180ー60ー90=30度
∠BAC=180ー45ー60=75度
∴ ∠BAD=75ー30=45度より
△ABDは、直角二等三角形だから、AD=BDよりAC=8から
DC=4 ,AD=BD=4√3
よって、bc=4+4√3 …Ans

さらに、別解3として、面積と加法定理より
正弦定理より、AB=4√6より
△ABCの面積は、ADが高さでもあるので、
(1/2)AB・AC・sin∠a=(1/2)・bc・AD
∴ 4√6・8・sin(30°+45°)=bc・8sin60度
∴32√6・(sin30°cos４５°+cos３０°sin４５°)=bc・4√3
∴ 32√6・(1+√3)/(2√2)=bc・4√3
∴ bc=4+4√3

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/03 11:42

8^2=bc^2+(4√2)^2ー2・4√6・bc・cos45度でもできますのでチャレンジしてください！

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/03 11:38

余弦定理でもできました！正弦定理より、AB=4√6でしたから、

AB^2=AC^2+bc^2ー2・AB・bc・cos∠c
(4√6)^2=8^2+bc^2ー2・8・bc・cos60度
96=64+bc^2ー8・bc
bc^2ー8・bcー32=0
解の公式で、正の値にすると、
bc=4+4√3

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/03 11:23

折角ですから、正弦定理を使いましょう！

ac/sin∠b=AB/sin∠c
8/sin４５度=AB/sin６０度
8√2=AB/(√3/2)
AB=8√2・√3/2=4√6
よって、
bc=ACcos∠c+ABcos∠ABC
=8cos60度+4√6cos45度
=8/2 +4√6・(1/√2)=4+4√3

尚 余弦定理は計算大変なので、割愛します。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
解く方法がこんなにも多くあるとはおどろきました！
数学は面白いですね。
参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

お礼日時：2017/10/03 23:28

No.3 ベストアンサー 回答者： 三段重ね 回答日時： 2017/10/03 00:28

AからBCに下ろした垂線の足をHとする。

∠BAH+∠B+∠AHB=180°(△ABHの内角の和)
∠AHB=90°, ∠B=45°だから、
∠BAH=45°
よって△ABHは∠AHB=90°の直角二等辺三角形だから、
AH=BH　…①

△AHCについて
∠HAC+∠AHC+∠C=180°(△AHCの内角の和)
∠AHC=90°, ∠C=60°だから、
∠HAC=30°
正弦定理より、
8/sin90°=AH/sin60°=HC/sin30°
∴AH=4√3
　HC=4
①よりBH=4√3
BC=BH+HC=4√3+4

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
とてもわかりやすく納得のいく回答でしたので、参考にさせていただきます！
ありがとうございました、

お礼日時：2017/10/03 23:25

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2017/10/02 23:12

図を描けばすぐにわかるはずです。

bc/ac=cos(∠c)
これが見えるはずです。

この回答へのお礼

アドバイスありがとうございます。
そうですね！図を描いてしっかり整理して考えます。

お礼日時：2017/10/03 23:24

No.1 回答者： にっけー 回答日時： 2017/10/02 23:12

か