互いに独立な五つの物理定数とは、、、？

この宇宙の森羅万象を記述するために必要な単位系は、特に自然単位系と呼ばれ、互いに独立した五つの物理定数を選択する事で、一つの単位系を構成することが可能という事を学びました。

ここで、「五つ」の意味する事は何か、考えてみました。

問1:万学の祖、アリストテレスの時代から発展し続けて、五つの物理量で自然単位系を構成することができるようになったのは、いつ頃のことか、誰の貢献があってのことでしょうか？

問2:将来、物理学が発展してゆくと、五つが四つへ、三つへと減少して行くと期待できるのでしょうか？

問3:最終的に一つの物理定数から単位系を定義・導出可能になると、あなたは考えますか？


以上、どれか一つでも、ご回答頂けましたら幸いです。
どうぞよろしくお願いします。

No.6 回答者： cyototu 回答日時： 2017/12/02 12:30

＞だって、無限小の数値ってのは、「あんたが思うよりは小さい」ってだけで、スティル有限の数値じゃろう？

有限の数値を有限の数値で除して、答えが無限になるなんて、そんな事、答案に書いたら高校の数学だって合格点はもらえないでしょ。

無限小は有限じゃないよ。無限大ってえのは無限小分の１ってことだ。無限小が有限だったら、無限大は有限になっちまう。そんな数学あっか。

さらに、有限の数値を有限の数値で除して、答えが無限になるなんてことあるはずないじゃん。

でも、無限小を無限小で除したら、その状況によって、無限小になることもあり、有限になることもあり、無限大になることもある。物理学の計算では、その無限小の大きさが無限小の大きさよりどのくらい小さいか、あるいは大きいかをきちっとやらないと、支離滅裂な結果が出ちまうんだ。これは、無限大も同じだ。無限大同士を比べてどちらが大きいのかはっきりさせなくちゃならん。

無限大の大きさの程度のもいろいろあるが、その大きさを分類するときに、物理学じゃ無限大の極限をとる量の何乗に比例するかが肝要になる。

他にも、カントールによる可算無限と非可算無限の間の無限大の大きさの比較なんていうのもある。この違いが物理学で深刻になるのは、カオスの理論で共鳴特異性に関して、有理数か無理数かの違いで決定的に違いが出る場合だ。有理数、すなわち可算無限集合に属する場合に運動の恒量が存在しなくても、非可算無限集合に属する無理数で、その値が無理数よりも十分に離れている場合には、特殊解としてKAMの不変トーラスというある種の運動の恒量が存在することがカオスの理論での金字塔の一つであるKAMの理論で知られている。ここで、ある無理数が有理数からどのくらい離れているか、あるいは、近いかの量的指標はディオファントスの不等式ってやつで評価できる。

でも、有限な原子からなる結晶の中で離散的な波数を持っていた級数が、原子の数を無限大視してもその波数の集合は可算無限集合だ。決して非可算の連続無限集合になるわけではない。それにもかかわらず、可算無限集合上の級数は、リーマン積分の意味で積分に移行するので、通常物理で現れて来る積分の値に関しては、それが可算無限だったか非可算無限だったかで違いが出てこない。だから物理学者は可算無限なのか非可算無限なのかを気にせずに計算している。別な言い方をすると、ある物理現象で、その裏にある無限集合が可算無限の場合と、非可算無限の場合に違いが現れるような事象を見つけることができたら、その物理学者は前世にとてつもない善行を積んだ証拠だ。その仕事は物理学の第一級の仕事として皆から高く評価される。上記のKAM理論の構築者たちは、前世でよっぽと善行を積んできたんだろうね。

でえくは、宇宙なんて言葉使ってんだから、物理学者が対象としているこの宇宙のことを言っているんだろう？それとも、この宇宙とは無関係に人間の脳みそが思い描くことができる数学的な架空の世界でも考えているんですかい？無限大を語るのに、この現実の宇宙に興味のある物理学者が語る無限大と、思弁的に、脳みその中の論理に興味のある数学者が語る無限大じゃ、物理現象の中に現れて来る影響が全く違うこともしばしばあるって事だ。

この回答へのお礼

無限小などと言う適当な概念を持ち出してしまうところが物理屋さんのアバウトなところですね。
小さい方と言ったら、有限の小さい数と、それからゼロしか無いんだから、これらをどう操作しても無限は作れないです。

宇宙という言葉を使うときには、この個性的な宇宙を指し、無限を語るときには人間の脳みその中でのみ描くことができる無限集合を意味しています。
だから、この個性ある宇宙には無限の量など実在せんのです。

お礼日時：2017/12/02 16:08

No.5 回答者： cyototu 回答日時： 2017/12/02 11:15

でえくさんよ、世間てえのは広いようで狭いもんだね。

あんたとは学校で共通点があったのには驚いたが、No.3でルパンの子孫さんが引用した文献の引用文を読んでたら、どっかで見たことがある。何と、こりゃあたしの論文じゃんか。

この回答へのお礼

世間も狭いが、この宇宙も数学位比べれば狭いもんだよ、だって有限なんだからねぇ！

お礼日時：2017/12/02 11:32

No.4 回答者： cyototu 回答日時： 2017/12/02 10:40

＃１に対する質問に関して。

＞物理学で使う定数などが、無限の値をとるなんてことが他のケースを含めて有るんですかい？

あるってえのは、あったり前田のクラッカーだ。無限小分の１が無限大だから、無限大も無限小も同根だ。んで、ニュートン力学、あるいは古典力学と呼ばれているやつは、プランク定数が無限小の場合だ。その極限をとると、級数が積分になる場合がいくらでもある。んで、＃１で述べたように、この定数の0点はプランク定数を複素数に解析接続した時に真性特異点になっている。だから、この無限小の極限は曲者なんだ。量子力学は、プランク定数のゼロの極限をある一つの取り方をすると粒子になったり、別な取り方をすると波動になったり、とその極限値は一意に定まらない。粒子も波動も我々の宇宙を理解するための基本的な実態だよ。さらに、＃１でも述べたが、プランク定数が有限の時には決して起こらないカオスが現出してくる。このカオスの現象は我々の宇宙を理解するための重要な要素だ。

さらに、プランク定数の極限ではなくて、宇宙の大きさに対しても、もし宇宙が有限な大きさなら、粒子の位置に対してフーリエ共役な、波数と呼ばれる物理量は離散的な値を持ち、＃２で説明したように、一般の物理量は波数に関する級数で表される。そして、無限大の極限をとると、フーリエ積分になる。宇宙と言わずに、＃２で説明した結晶の大きさが有限か無限かでも話は同じだ。

話がそれるが、＃２ででえくの質問した測度なんちゅもんで級数を積分表示しようなんてえのは、単に級数を積分の記号で表現できたっていうだけで、その裏に隠れている級数の不連続性を消去できたわけでない。だから、そんな積分表示をしたところで、級数の計算と同じ程度の難しさがそのまま残っている。でえくに化粧させてスカート履かせたって、でえくが男であることに変わりがないのとおんなじだ。積分表示したからって、女になったわけじゃない。

話を元に戻して、波数に関する表現が不連続な級数か、あるいは連続変数として積分になっているかで、物理学では最も基本的なところで重要な違いがある。例えば、連続変数に対する積分の場合、その積分下の数学的表現が全く意味をなさない場合でも、その積分値が曖昧さなしに定まることがある。積分なしの表現で全く意味をなさない例は、数学でいう超関数が代表的な例だ。例えば、デルタ関数なんていうのが、その代表例だ。この超関数は、物理学のどこにでも出てくるが、その例として量子光学の分析の時にも出てくる。多くの原子の場合、そこから出てくる光はある振動数の周りに鋭いピークを持ち、そのピークの周りに小さい幅を持った関数の形で観測されることが知られている。この形はローレンツ関数（ローレンチアン）と呼ばれていて、超関数ではなくて、通常の関数だ。振動数は上記の波数の関数になっているので、その波数が連続値を持つのか不連続値を持つのかで、数学的な表現が全く違ったものになる。そして、その振動数の幅の値がピークの高さに比べてとてつもなく小さい時には、物理学者はしばしば、その幅に対して無限小の極限値を取り、さらにピークの高さを無限大に取った状況を考える。

現実の物理系をうまく記述するには、その極限を勝手にとるのではなくてピークの高さが幅に反比例するようにとるのが肝要だ。だから、ローレンチアンはその極限で振動数がピークのところで無限大になる。この無限大の特異性を物理学では共鳴特異性と呼んでいる。そして、この極限でローレンチアンはかの有名なディラックのデルタ関数という超関数になる。ローレンチアンが通常の関数であったにも関わらず、その極限は函数の集合には属さず、超関数、すなわち汎関数と呼ばれる関数の関数になっている。この超関数の出現は波数が離散的な値を持っていたらありえない事柄で、波数が連続変数の時のみ可能になる。そして、共鳴特異性によるこの超関数の出現で例えば初めてボーアの原子模型に言う電子の励起状態から基底状態への遷移で光が放出する機構をシュレーディンガーの方程式の解として記述が可能になる。量子遷移というやつだ。要するに、空間が無限大の極限を取らないと、原子から出る光の放出過程を記述することができないんだ。


また、＃１でも述べたように、プランク定数をゼロとする極限を取らないと、カオス現象も記述不可能だ。そして、この共鳴特異性と言う奴は、物理学の心臓に届くと重要な概念だ。原子による光の自然放出もカオスも時間の向きの対称性の破れも皆、この共鳴特異性の帰結として説明できんだ。

でえくが数学の裏付けもなく、ただ思弁的に宇宙は有限か無限大か、結晶は有限の大きさとして取り扱うべきか無限大として取り扱うべきか何ちゅうのを言葉の遊びで弄くり回しているのは勝手だが、だったら、トランジスタの集積回路で出来ているあんたのパソコンがどうして動いているのかの数学的説明や、太陽から何であんな色の光のスペクトルが出てくるかの物理現象を数学を使って説明するにはどうしたら良いんだ。物理学は、あんたが弄んでいる日常言語ではなくて、数学という言語で語られているんだ。

おっと。今思い出したが、液体の水は温度を変えると氷になったり、水蒸気になったりする現象にも、無限大が役割を演じている。この固体相、液体相、気体相の間の変化のことを物理学では相転移と呼んでいる。この現象は統計力学と呼ばれる物理学の一分野によって説明される。そして、この現象が起こるためには、系の粒子の密度を有限な一定値に保ちながら、粒子の数を無限大に取る「熱力学的極限」と呼ばれる特殊な極限を取らなくてはならないことが知られている。粒子数密度が一定だから、熱力学的極限では、粒子数を無限大にすると、その系が占める体積も無限大にならなくてはならない。これから冬が来る。もしでえくがこの宇宙の大きさは有限じゃないかなんて言うつもりなら、んじゃ何で冬に氷ができるんですかい？それとも、でえくが氷と思っているものは、単なる幻想なんですかい？夏には幻想のかき氷でも食っているんですかい？

この回答へのお礼

高校の先輩に文句つけちゃあ日馬富士に灰皿で殴られるちゃうかも知れねえが、猪突先輩、相変わらずアバウトだね。

だって、無限小の数値ってのは、「あんたが思うよりは小さい」ってだけで、スティル有限の数値じゃろう？
有限の数値を有限の数値で除して、答えが無限になるなんて、そんな事、答案に書いたら高校の数学だって合格点はもらえないでしょ。

まあ、物理の人が数学的じゃ無くても一向に構わんが、無限に関してはカントールを読んで自分で考えたので、アバウトな議論は看過出来ん様になってしまった。

お礼日時：2017/12/02 11:27

No.3 回答者： rupin_the_345th 回答日時： 2017/12/01 00:11

問2　

もしかしたら、増えちゃうかも。わかんないです。でも、減るよりかは、増えるほうが簡単そうな気がする。だって、なんかすごいのが後でみつかればいいんだもん。見つかった！っていうやつらと、いやそれは既知のもんだ！とかいうやつらが、もめるんだろうな。減らすのってすごく大変そう。

問3　
さすがに0つになったりはしないだろう。わかんないです。


no.1の11段落の2～4行目の下記のあたりがモヤッとする。
　ところが、プランクの発見により、プランク定数が有限の場合には、多くの系
　で運動量は不連続な値を取ります。だから、量子力学では上記ポアンカレの非
　可積分系の定理は適用できず、その系は原理的に積分可能となっています。

なんでかっていうと、連続ならば積分できるってno.3は信じてて、じゃあきっと、不連続ならば積分できないのかもな?と予想しているからです。なので、
　その系は原理的に積分可能となっています。
と言うところでモヤッとします。でも、不連続なのに積分できる場合もあるんじゃないかな。不連続で積分できるときと不連続で積分できないときがあるんだなきっと。→はならばです。
　正　連続　→積分できる
　誤　不連続→積分できない
たぶん　不連続で積分できるばあいと、不連続で積分できないばあいと、があるじゃないかな。
　原理的に
ってところがちょーきになるけど説明すんのがめんどくさい事柄だし、説明されてもno.3は理解できないんだろうな。でも、質問者なら理解するかもしれないし、時間があればぜひ説明してみてほしいです。


そんでもって、不連続で、積分できて、非可積分である。なばあいと、不連続で、積分できて、非可積分ではない。なばあいがあるのかもしんない。わかんない。


下記は気体分子運動論の話みたい。no.1の話と共通のジャンルなんだろうか。なんとなく、連続で、積分できて、非可積分である。ばあいの話が書いてあるように読める。ってことはふつーのポアンカレなばあいの話だな。わかんない。
【2・8】気体分子運動論と非平衡統計物理学のおもしろさ
https://www.jstage.jst.go.jp/article/mssj1998/9/ …
　p4の右側真ん中あたり
　　このことは,量子力学系でも同じあり,ハミルトニアンとの交換関係で定義
　　されたフォン・ノイマン演算子が連続スペクトルを持った場合の,ボアンカ
　　レ共鳴特異性の結果として不可逆性が現れて来るのである[10】.したがって
　　,不可逆性は量子効果ではなく,古典系にも量子系にも共通な,共鳴特異性に
　　基づいた非可積分性の帰結として現れて来るのである[5]

この回答へのお礼

ルパンの子孫さん、有難うございます。
その道に造詣があるとおぼしきルパンの子孫さんにして、いろいろと断定できないことがあるんだなぁと理解しました。

愚拙も0にはならないと思いながら、物理学の進歩は表層（表象？）を数値化する段階を卒業して、陰に隠れた根本原因を解き明かす時代に入れば、5個から4個、4個から3個ぐらいに減るのではないか、などと無責任にも期待をしております。

逆に、現代の人類が認識していない物理定数が発見されればその時点で、5個が6個に、6個が7個に増える局面があってもおかしくないですね。

質問が愚門だったかと反省しつつ、考える機会があってよかったと思っております。

どうも有難うございました。

お礼日時：2017/12/01 23:25

No.2 回答者： cyototu 回答日時： 2017/11/30 21:48

＃１です。

私に文章、

＞例えば、粒子の数が有限なら、数学的表現が級数で与えられますが、無限大なら、その級数は積分に移行します。

を誤解してしまう人もいるかもしれないと思い至ったので、正確に述べてみます。

例えば、トランジスタなどの結晶は有限個の粒子からできています。そして、この問題を数学で表現する場合、各粒子の位置を座標で表すより、それを座標に関してフーリエ変換して表現した方が取り扱いやすいことが知られています。そして、そのフーリエ変換は粒子の数が有限ならフーリエ級数になります。ところが、級数の値を計算するのは積分の値を計算するのと比べて桁違いに難しい。一方、粒子の数が無限大ならフーリエ積分になって、計算が易しくなる。そして、数ミクロンの大きさのトランジスタでも、それは途轍もない数で構成されている。だから、物理学者は、そのトランジスタが無限個の粒子でできているとして計算してしまいます。実験と計算の結果、有限か無限かの違いが有意に観測できるのは、トランジスタの大きさが分子や原子の大きさの程度になった時であることが知られているのです。

この回答へのお礼

確かに、ミクロレベルの話になれば、離散的であって、積分なんか出来そうには見えませんね。
でもね、なんでも「測度」ってものがあって、こいつを良い塩梅に調整すれば、積分が出来ないと決まった訳でもあんめいと思ったりもします。

数学が苦手な大工を酢学で騙すことなく、なんとか先生の上手な日本語で納得させておくんなまし。

お礼日時：2017/12/01 23:33