汚くてごめんなさい！ (4) (ァ)１回微分は済んでいるのですが、 二階微分(21〜22番)がわかり

汚くてごめんなさい！
(4) (ァ)１回微分は済んでいるのですが、
二階微分(21〜22番)がわかりません！

どうか！どうか、お願いします！

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/01/21 12:38

いずれも「合成関数の微分」を使います。

つまり
　f(x) = f(u)
　u = g(x)
として、
　df/dx = (df/du)(du/dx) = (df/du)(dg/dx)
で求めます。

（ア）では、
　u = (x - 2)^2
とおけば
　f(x) = e^(-u)
ですから
　df/du = -e^(-u)
　du/dx = 2x - 4
より
　f'(x) = df/dx = -(2x - 4)e^[ -(x - 2)^2 ]　　　①
です。

もちろん
　u = -(x - 2)^2
とおいて
　df/du = e^(u)
　du/dx = -2x + 4
から求めても同じです。

従って
　f'(x) = 0
となるのは
　-(2x - 4)e^[ -(x - 2)^2 ] = 0
より
　x=2
です。

①は
　f'(x) = 4e^[ -(x - 2)^2 ] - 2xe^[ -(x - 2)^2 ]
　　　= (4 - 2x)f(x)
ですから、これをさらに微分すれば
　f''(x) = (4 - 2x)'f(x) + (4 - 2x)f'(x)
　　　= -2f(x) + (4 - 2x)^2f(x)
　　　= (-2 + 16 - 16x + 4x^2)f(x)
　　　= (4x^2 - 16x + 14)e^[ -(x - 2)^2 ]

従って、ここに（ア）である x=2 を代入すれば
　f''(2) = -2

f''(x) < 0 なので、f'(x)=0 で「極大」になります。
（f'(x) の変化が負、つまり「傾きが減っていく過程でのゼロ」ということなので、f'(x)=f(x) の接線の傾きが正→負になるということですから）


（イ）も同じように、
　f(x) = log( x^2 - 2x + 3 )
で
　u = x^2 - 2x + 3
とおいて
　df/du = 1/u
　du/dx = 2x - 2
より
　f'(x) = (df/du)(du/dx)
　= (2x - 2)/(x^2 - 2x + 3)

f'(x)=0 となるのは
　(2x - 2)/(x^2 - 2x + 3) = 0
より
　x = 1

ここからは
　g(x) = 2x - 2
　h(x) = 1/(x^2 - 2x + 3)
として
　f''(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)
を使いましょう。
h'(x) を求めるのに、必要なら
　ｔ = x^2 - 2x + 3
とおいて
　h(x) = 1/t
として
　h'(x) = (dh/dt)(dt/dx)
を使ってもよいです。
　dh/dt = -1/t^2
　dt/dx = 2x - 2
より
　h'(x) = -(2x - 2)/[ (x^2 - 2x + 3)^2 ]

よって
　f''(x) = 2/(x^2 - 2x + 3) - (2x - 2)^2/[ (x^2 - 2x + 3)^2 ]
　　　= [ (2x^2 - 4x + 6) - (4x^2 - 8x + 4) ]/[ (x^2 - 2x + 3)^2 ]
　　　= [ -2x^2 + 4x + 2 ]/[ (x^2 - 2x + 3)^2 ]

f''(1) = 4/4 = 1 >0
なので、f(x) は x=1 で「極小」になります。

計算間違いがあるかもしれないので、ご自分でトレースしてください。

この回答へのお礼

御二方、本当にありがとうございました

お礼日時：2018/01/24 13:01

No.2 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/01/21 12:53

減量頑張るウーマン さん。

21は関数の積の積分です。(fg)´=f´g＋fg´です。重要公式なので覚えましょう。

22は第二次導関数を使わなくても分かります。

この回答へのお礼

本当にありがとうございました

お礼日時：2018/01/24 13:01