整数m,nについて 「ｍ２乗＋ｎ２乗が奇数ならば、積mnは偶数である」を示せ という問題の解き方を教

整数m,nについて
「ｍ２乗＋ｎ２乗が奇数ならば、積mnは偶数である」を示せ

という問題の解き方を教えてください！

急ぎです、

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/06/04 07:14

mが偶数/奇数、nが偶数/奇数の組み合わせ4パターンについて

m^2+n^2 と mnの遇奇を調べれば良いのです。

偶をe、奇とοとすると
m=e、n=e→m^2+n^2=e、mn=e
m=e、n=o→m^2+n^2=o、mn=e
m=o、n=e→m^2+n^2=o、mn=e
m=o、n=o→m^2+n^2=e、mn=o
というわけで、命題は常に正しい。

No.3 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2018/05/28 23:54

mもnも両方とも奇数だと仮定する。

すると、m²もn²も奇数なので、m²+n²は「奇数+奇数」であり、偶数になってしまう。
しかし、これは題意に反するので、「mもnも両方とも奇数」という仮定が間違っていたことになる（背理法）。
したがって、mかnの少なくとも一方は偶数であるから、その積mnは偶数である。（証明終了）

No.2 回答者： jyo-ji39 回答日時： 2018/05/28 21:02

mnが奇数ならｍ^2+n^2は偶数？（対偶）

ｍｎ＝2k+1
これより、ｍ、ｎは奇数である。
ｍ＝2r+1,n=2s+1
m^2+n^2=(2r+1)^2+(2s+1)^2
=4r^2+4s^2+4r+4S+2①

4r^2+4s^2=(2r+2s)^2-8rs②
①、②よりmnが奇数ならｍ^2+n^2は偶数
よって、ｍ２乗＋ｎ２乗が奇数ならば、積mnは偶数である

No.1 回答者： Dr-Field 回答日時： 2018/05/28 20:44

ｍとｎの両方が偶数ならば、m^2もn^2も偶数であり、その和も偶数である。

一方、ｍとｎの両方が奇数ならばm^2もn^2も奇数となり、その和は偶数になる。
だから、ｍ２乗＋ｎ２乗が奇数ならば、mかnのどちらかは偶数であり、他方は奇数である。
だから、積mnは必ず奇数×偶数の形となり、結果として偶数となる。