「f(x)が点aで連続である」ことの定義を教えてくださいm(__)m

「f(x)が点aで連続である」ことの定義を教えてくださいm(__)m

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/05/31 14:40

いちいち聞かないで、google検索する。

一発で出て来る

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/05/31 16:02

function f : D → R is continuous at x₀ ∈ D

if given ε > 0 there exists a δ > 0 such that for all x ∈ D :
|x-x₀|<δ　⇒ |f(x)-f(x₀)|<ε

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2018/05/31 18:26

lim x→±a f(x)=f(a) かつ f(a) が存在すること！

例えば、f(x)=I xーa I など！

No.4 回答者： rinkun 回答日時： 2018/05/31 19:05

具体的な定義の仕方はf(x)の定義域・値域の空間により変わりますが、概念的には

f(x)がaで連続 とは aに近い点はf(a)に近い点に写ること
です。
距離空間ならε-δで定義しても良いですが、一般の位相空間だとそもそも距離がないですので近傍系や開集合などを使って定義しますね。

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2018/06/01 07:06

点a＝ｆ（ｘ₀）の近傍にf(x)が存在して、それらの距離に任意のεが存在して

　｜f(x)ーa｜＜εの時εからδが選べ
０＜｜ｘ－ｘ₀｜＜δを満たせば
「f(x)が点aで連続である」と言うことになります。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/06/01 08:53

細かい話ですが、実はANO2さんの定義は非主流派

主流派は
0<|x-x₀|<δ　⇒ |f(x)-f(x₀)|<ε
でも、連続に関しては違いは無いです。
#関数の極限の定義の違いによる。

どちらも孤立点は連続という
非直感的結論を導くけど、正しいとされています。