｢2次不等式2x²+3x+m+1＜0を満たす実数xが存在するようなmの値を求めよ。｣という問題がある

｢2次不等式2x²+3x+m+1＜0を満たす実数xが存在するようなmの値を求めよ。｣という問題があるのですが、この式の判別式をDとして、

D=(-3)²-4・2(m+1)>0

問題文には<0と書いてあるのに、>0となるのはなぜですか？

No.1 回答者： nyosuke 回答日時： 2018/06/28 23:54

判別式は方程式の解の根号の部分です

ここが負になるということは
実数解をもたないということです

表題の関数をグラフで考えると
X軸より下に頂点がないといけません
これは実数解ということと同じ意味になります

表題の関数を頂点のわかる形にしてYの値が負に
なることからもこの問題は解けます

No.2 回答者： nyosuke 回答日時： 2018/06/29 01:40

１です

もう少しわかりやすく説明します
判別式とは二次方程式の解の公式の根号
の中の部分になります
ここの値が負になるということは
平方したものが負の値になるということです
が実数ではありえません
実数は二乗したら必ず正になるからです
これが判別式が正のとき実数解をもつということです

二次関数のグラフでも同じようなことがわかります
下に凸のグラフで頂点がｘ軸より上、ｘ軸上、ｘ軸より下
の三つを考えます
ｘ軸と交わっているのが実数解をもつということです
ｘ軸上に頂点がある場合は重複解のときです
頂点がｘ軸より上にある場合ｘの値がないことが
わかるのではないかと
これが実数解をもたないということです

ちなみに二次関数で頂点がわかる形にできますが
ここでＹ＝０としてみてください
少し計算するとここから解が得られることが
わかると思います

No.3 回答者： 暇人の名前 回答日時： 2018/06/29 03:35

判別式は元の2次不等式の1部だけを抜き出したものなので不等号の向きは同じとは限りません。

No.4 回答者： tekcycle 回答日時： 2018/06/29 05:25

細かい解説は省略します。

二次式は、(たぶん)全て、ｙ＝ａｘ^2を平行移動した物です。(ａは実数)
どんな二次式でも平方完成すれば、ｙ＝ａ(ｘ－ｂ)^2＋ｃの形に変形できる、
つまり、ｙ＝ａｘ^2をｘ方向にｂ、ｙ方向にｃ平行移動した物、となりますので。
そのａ＝１の時の典型例。
ｙ＝ｘ²
ｙ＝ｘ²－１
ｙ＝ｘ²＋１
この三本のグラフを描いてみて下さい。ｙ＝ｘ^2をｙ方向に±１平行移動した物を描けば良いだけです。
また、それぞれ、ｙ＝０のときの解と判別式Ｄの値を計算して下さい。
判別式Ｄ＝０というのは、二次方程式の解の公式の平方根部が０になる、±√０になる、ということで、従って、重解、グラフとｘ軸とが接する、ということです。1番目のグラフのことです。
判別式Ｄ＞０というのは、ｄを正の実数とすると、平方根部が±√ｄとなり、解が二つに分かれる、二点で交わる、ということになります。2番目のグラフのことです。
それに対して、3番目のグラフはどうなっているでしょう。
ｘ軸とグラフが接触してない、つまりｙ＝０のときの値が見当たりませんよね。
このとき判別式はＤ＜０となります。
平方根部が、±√－ｄ、虚数解、となります。虚数解というのはこういう状態のことです。

その問題は、ｘ軸より下にその方程式を満たすｘとｙの値がある条件を探せ、ということですよね。
上記の例では、3番目のグラフのようでは勿論ダメで、1番目のグラフのようでもダメ、2番目のグラフのようになってないと、題意を満たさないのです。
つまり、グラフの形状から、二つの解を持つときの条件は、と聞かれているわけです。
となれば、上記の議論から、2番目のグラフのように、平方根部が正の実数になってなければならない、Ｄ＞０でなければならない、ということです。

頻出問題ですから、類題はその辺の参考書問題集にいくらでも載っているはずですので、質問する前にそれらを見る方が早いでしょう。持ってなければ用意した方が良いです。

問題を捻ってみます。
「2次不等式－２ｘ²＋３ｘ＋ｍ＋１＞０を満たす実数ｘが存在しないようなｍの値を求めよ。｣
先頭に"－"を付けてみました。今度は存在しない方。
ｙ＝－ｘ²
ｙ＝－ｘ²－１
ｙ＝－ｘ²＋１
この三本のグラフと、それぞれの判別式から、どういう条件でなければならないか判断して下さい。

No.5 回答者： banzaiA 回答日時： 2018/06/29 08:39

基本的なこと、判別式とはどのようなものかを、しっかり復習しましょう。

そこをマスターすれば、疑問も解決します。

No.6 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/06/29 10:08

2x²+3x+m+1<0

両辺を8倍にしても不等号の向きは変わらないので
16x²+24x+8m+8<0
(4x+3)²-9+8m+8<0
(4x+3)²+8m-1<0
0≦(4x+3)²<-8m+1=D
左辺と右辺を入れ替えると
D>0
です。

なぜ 8倍? x² の係数の 4倍で括るとキレイに平方完成できるというテクニックなので覚えてください。

尚、この手の問題は敢えて判別式を用いなくても式の変形だけで求められます。

No.7 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/06/29 13:13

y=2x²+3x+m+1のグラフを考える

すると2x²+3x+m+1<0というのは
y=2x²+3x+m+1なのだから
y<0と同じこと
つまり、y=2x²+3x+m+1のグラフのyがマイナスとなる部分（x軸よりも下の部分)のこと。

画像の①パターンではグラフにyがマイナスとなる部分はない。
②パターンはx軸に頂点が（1点で）接している場合。この時もグラフはx軸より下には来ていない。yがマイナスとなる部分はない。（ギリギリx軸のライン上で踏みとどまっている）
③パターンはグラフの1部がx軸より下に来ている（yがマイナスとなる部分がある）

さて、本問では2x²+3x+m+1＜0を満たす実数xが存在するように・・・
言い換えれば、y<0となる部分が存在するように
更に言い換えれば、グラフでx軸より下に来ている（yがマイナスとなる）部分があるように
ｍの値を決めろ（ｍの範囲を求めろ）と言われていることになります。

①②パターンのグラフにはそのような部分はありません。
グラフでx軸より下に来ている（yがマイナスとなる）部分があるのは③パターンのみです。
よって③パターンとなるようなｍの範囲を求めれば良いことになります。

③パターンはy=2x²+3x+m+1のグラフがx軸と2点で交わるというものです。
言い換えればy=0と置いた時に0=2x²+3x+m+1が２つの異なるxの値を持つというものです。
ｘの2次方程式2x²+3x+m+1=0が２つの異なる値→異なる実数解　を持つという事は
判別式D>0という事です。

だから、D=(-3)²-4・2(m+1)>0　というのが現れるのです！＾＾