D={x=x1+x2i(複素数);x1^2+x2^2≦1}とおく時、≦aに関するDの最大元、極大元、

D={x=x1+x2i(複素数);x1^2+x2^2≦1}とおく時、≦aに関するDの最大元、極大元、上限を求めよ。ただし、≦aとは、
x=x1+x2i y=y1+y2i (ともに複素数)に対し、
x(≦a)y ⇔ ly1-x1l(絶対値)≦y2-x2

という大学の解析学の問題なのですが、

最大元なし、
極大元は(cosθ,sinθ)(0≦θ≦π/2)
上限は(0,√2)

だと思いました。
しかし証明方法がわかりません。
どなたか教えてください！！

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2018/07/13 16:14

「大学の解析学」なのかな。

いや、関係の代数学ですかね。（「大学の」と言うのなら、x1, x2とか≦が何者なのかをはっきり書かないとアホっぽいですよ。）
　ま、x1, x2は実数で、≦は実数に関する普通の大小関係、iは虚数単位だと思うことにしましょか。で。

　はじめに x(≦a)y とはどういう意味なのか。整理すると
　　S(y) = {p1+p2i ; (p1- p2 ≦ y1-y2) ∧ (p1+p2 ≦ y1+y2) }
としたときに
　　x∈S(y)
ということですね。ガウス平面に集合S(y)をプロットしてみれば「yを頂点とするピラミッド」。だから、
　　x∈S(y) ⇒ S(x)⊂S(y)
である。

　で、関係(≦a)がそもそも順序関係なのかどうかを確認しないと話になりません。
● 任意のx,y∈複素数 についてx(≦a)y が定義できるのは明らか。だからD×D上でも定義されています。
● x(≦a)x である。そして、x(≦a)y ∧ y(≦a)z のときx(≦a)z であることは（上記の通りSの包含関係から）明らか。というわけで(≦a)は順序関係になっている。
● x=yの時を除いて、x(≦a)y ⇒ ￢(x(≦a)y) 。だから同値関係ではない。
● ¬x(≦a)y ∧ ￢(y(≦a)x) となるx,yが存在するから、全順序関係ではない。

　ようやく本題、すなわち(≦a)をD上に制限した場合を考えますと、言うまでもなくDはガウス平面上の単位円で、円周Cも含む。もちろん注目すべきは円周C上であって、x = exp(iθ) (θ∈[0, 2π))としたとき、π/4≦θ≦3π/4の場合にはx(≦a)y ∧ y∈Dとなるyがないのは明らか。というわけで。