Oを頂点とする座標平面上に 角BAC=π/2 の直角二等辺三角形ABCがあり、AB=AC=√2である

Oを頂点とする座標平面上に 角BAC=π/2 の直角二等辺三角形ABCがあり、AB=AC=√2である。また、点Aは第1象限、点Bは第2象限、点Cは第4象限にあり、線分BCの中点はOである。さらに、直線ACとx軸との交点をDとし、角AOD=θ(0<θ<π/2)とする。

(1)角ODAをθを用いて表せ。また、 sin角ODAを sinθ、cosθを用いて表せ。

(2)線分ADの長さを sinθ、cosθを用いて表せ。

(3)線分ABとy軸との交点をEとし、△ADEの面積をSとする。S=1/6となるようなθの値を求めよ。

解説お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/07/22 17:42

(1)二等辺三角形の底辺の垂直二等分線は頂角を二等分します。

よって∠OAD=π/4
∠ODA=2π-∠OAD-∠AOD
　　　=π-π/4-θ
　　　=3π/4-θ
sin∠ODA=sin(3π/4-θ)
　　　　=sin3π/4cosθ-cos3π/4sinθ
　　　　=(cosθ+sinθ)/√2
cos∠ODA=cos(3π/4-θ)
　　　　 =cos3π/4cosθ+sin3π/4sinθ
　　　　 =(-cosθ+sinθ)/√2

(2)Aからx軸に垂直に下ろした垂線の足をHとすると、
AH=AOsin∠AODであり、
AH=ADsin∠ODAでもあります。
よって、
AOsin∠AOD=ADsin∠ODA
1×sinθ=AD×(cosθ+sinθ)/√2
AD=√2･sinθ/(cosθ+sinθ)

(3)△ADE=S=AD×AE×1/2なので、AEを求めます。
∠AOE=φとすると、(1)、(2)と同様に考えて、
AE=√2･sinφ/(cosφ+sinφ)となります。
φ=π/2-θより、
AE=√2･sin(π/2-θ)/(cos(π/2-θ)+sin(π/2-θ))
=√2･cosθ/(sinθ+cosθ)
よって、
S=√2･sinθ/(cosθ+sinθ)×√2･cosθ/(sinθ+cosθ)×1/2
=2sinθcosθ/((sinθ+cosθ)^2)×1/2
=sin2θ/((sinθ)^2+2sinθcosθ+(cosθ)^2)×1/2
=sin2θ/(1+sin2θ)×1/2

S=1/6より
sin2θ/(1+sin2θ)×1/2=1/6
sin2θ/(1+sin2θ)=1/3
sin2θ=(1+sin2θ)×1/3
3sin2θ=1+sin2θ
2sin2θ=1
sin2θ=1/2
0<θ<π/2より、0<2θ<πなので、
2θ=π/6,5π/6
多分こんな感じ

この回答へのお礼

すごくわかりやすくて助かりました！
ありがとうございます！！

お礼日時：2018/07/22 18:18