複素数の問題です。解き方と答えを教えてください。 (z^6)+(3z^3)-4=0

複素数の問題です。解き方と答えを教えてください。

(z^6)+(3z^3)-4=0

No.3 ベストアンサー 回答者： pain.pain 回答日時： 2018/08/05 05:41

相変わらずここって、因数分解もまともにできないアホ回答者の娯楽施設だから、自分で解いたほうが利口だよ。

馬鹿回答者どもは、まず小学校の計算ドリルで計算練習してから出直して来い、クズ、面汚し！
自分が馬鹿だってこと、いい加減に認識しろよ。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/08/03 16:34

z^6+3z^3-4=0＿＿①

を解く。

zの三乗をyと置くと、
y^2＋3y-4＝0、(y＋1)(y-4)=0＿＿②
y=－1 or y=4＿＿③
z^3=y=4＿＿④
からzは4の３乗根である。すると
z１=³√4≒1.5874＿＿⑤
のほかに，
z2=³√4ω，z3=³√4ω²＿＿⑥
の解がある。複素数の世界では、3乗根はいつも3個がある。
ここで、
ω＝(－1+i√3)/2、ω²＝(－1－i√3)/2＿＿⑦
である。ωは
z^3=１＿＿⑧
の解である。この方程式⑧を解くには、z^3－１=0を因数分解すると
(z－1)(z²+z+1)=0となり、
z²+z+1＝０＿＿⑧
の解は、解の公式から
z=(－1±√－3)/2＿＿⑨
となる。すなわち、z=ω，ω²になる。
z^3=１を分円方程式という。単位円を分割するという意味である。
その解を表す次のド・モアブルの公式がある。実数θ およびn に対して
(cos θ+isinθ)^n = cos nθ+ i sin nθ＿＿⑩
(これは複素関数の指数関数のオイラーの公式e^(iθ)= cos θ+ i sinθを
ｎ乗したものである。
{e^(iθ)}^n={e^(inθ)}= (cos nθ+ i nsinθ) ＿＿⑪　)
ここでθ=2π(360°)、n＝1/3とすると、次の式⑫となる。
1^(1/3)=cos(2π/3)+i sin(2π/3)=cos120°+i sin120°=－1/2+ｉ√3/2=ω＿⑫
n＝2/3とすると、次の式⑬となる。
1^(2/3)=cos(4π/3)+i sin(4π/3)=cos240°+i sin240°=－1/2－ｉ√3/2=ω²＿⑬
ωを掛ける計算は複素平面では120°回転することである。
式③のy=－1から、zは⑭の解となる。zは－1の３乗根である。
z^3=y=－1＿＿⑭
z^3+１=0を因数分解すると(z+1)(z²－z+1)=0となる。z+1=0の解をz4とすると
z4=－1＿＿⑮
他の解は⑯から得られ、それをz5,z6とすると
z²－z+1＝０＿＿⑯
解の公式から
z5=(1+ｉ√3)/2，z6=(1－ｉ√3)/2＿＿⑰
z5はド・モアブルの公式で、θ=2π(360°)、n＝1/6とすると、次のζとなる。
z5=ζ=cos(2π/6)+ i sin(2π/6)= cos60°+ i sin60°=1/2+ｉ√3/2＿＿⑱
z5=ζは－1の3乗根であり、また１の6乗根である。z4=ζ^3＝－1は１の２乗根であり、また－1の3乗根である。
z6=ζ^5＝(1－ｉ√3)/2＿＿⑲
z６=ζ^5は－1の3乗根であり、また１の6乗根である。
ζを掛ける計算は複素平面では60°回転することである。
図は、これらの解を複素平面上に示す。

No.1 回答者： doc_somday 回答日時： 2018/08/01 22:20

zをai+bに置き換えて連立方程式としてとくだけです。

この場合ｚの三乗をyと置くと、y^2＋3y-4＝0、(y＋1)(y-4)=0、y=-1 or y=4なので、それぞれから別の解が得られます。