母標準偏差は5g。その平均を信頼度90％で推定するとき、信頼区間の幅を0.5グラム以下にする・・・

統計学です。

「とある工場でできた商品、１個の母標準偏差は5グラム。
　その平均を信頼度90％で推定するとき、
　信頼区間の幅を0.5グラム以下にするには標本の大きさnを少なくともいくらにすればいい？」


SE(標準誤差?)を最初に求めれば、nは求まるらしいです。
その人によると信頼度90%で1.64を使えばいいんじゃないかということで、n=271かなと。

別の人の答えは下記ですが、私の力では刃が立たず・・・


P(0<Z<1.65)=0.450, P(0<Z<1.96)=0.475（問題文）
| bar(x)-μ | / sqrt(σ^2/n) <= 1.65
0.5 / (5/sqrt(n)) <= 1.65
sqrt(n) / 10 <= 1.65
n >= 273

どうか解説をよろしくお願いいたします。中心極限定理とか関係あるのかな。

質問者からの補足コメント

• 

  次の値を用いるように付記があります。他の問題と合同なので使わない値もあるかも。
  P(0<Z<1.65)=0.450, P(0<Z<1.96)=0.475, P(0<Z<2.58)=0.495,
  T分布において自由度nの時、P(t<ｔn(α))と書くとするとt9(0.050)=1.833, t9(0.025)=2.262, t10(0.050)=1.812, t10(0.025)=2.228
  √10=3.16

    補足日時：2018/08/05 20:01

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/08/06 00:51

＞その人によると信頼度90%で1.64を使えばいいんじゃないかということで

＞P(0<Z<1.65)=0.450

これが、平均値 ～ 平均値 + 1.65σ の範囲内にある確率が 45％、つまり平均値 - 1.65σ ～ 平均値 + 1.65σ の範囲内にある確率が 90％ ということ、さらにつまり「信頼度90％」ということです。
「1.64」か「1.65」かは、単に「標準正規分布表」の読み方次第です。「1.64」に対する確率が「0.4495」、「1.65」に対する確率が「0.4505」ですから。
「標本の大きさを、少なくともいくつ以上にすればよいか」という問題なので、ここでは「大きい方」で答えておけばよいでしょうね。

ただし、「信頼区間の幅を 0.5 g 以下にする」ということは「中央値 ± 0.25 g」にするということです。
示されている計算例は「中央値 ± 0.5 g」つまり「信頼区間の幅」でいえば「1.0 g」になっていますよ。

「信頼度90％」で論じるなら、「P(0<Z<1.96)=0.475」（これは「信頼度95％」ということ）、「P(0<Z<2.58)=0.495」（これは「信頼度99％」ということ）などは関係ありませんよ。

「平均を信頼度90％で推定する」には、上に書いたように「平均値 - 1.65σ ～ 平均値 + 1.65σ」が「平均値 ± 0.25 g」になればよいということです。
つまり
　1.65σ = 0.25 (g)　　　①

「中心極限定理」というものがあって、母標準偏差 s のものを n 個標本として採ってくると、その標準誤差は
　s/√n
になります。
これが①に σ になればよいので
　1.65 * s/√n = 0.25
s=5 (g) なので
　1.65 * 5/√n = 0.25
従って
　√n = 33
よって
　n = 1089

この回答へのお礼

ありがとうございます。おかげで答案は作ることができました。
それでも、正直中心極限定理についてまだピンときていません。

1.65という数字がそもそも何なのか、この場合のσとはなんなのか・・・
信頼区間の半分が標準誤差で、それが0.25ということでよいのでしょうか。

お礼日時：2018/08/13 21:56