因数分解することができなくて困っています。

(a^2-b^2)^2-8(a^2+b^2)+16を因数分解すると、(a+b+2)(a−b−2)(a+b−2)(a−b+2)になるようですが、何故このような答えになるのかわかりませんでした。
その為、ご存知の方がいらっしゃいましたら、ご教示いただければと思います。

なお、私が計算すると下記となります。

(a^2-b^2)^2-8(a^2+b^2)+16
= a^4-2a^2b^2+b^4-8a^2-8b^2+16
= a^4-2(b^2-4)a^2+(b^4-8b^2+16)
= a^4-2(b^2-4)a^2+(b^2-4)^2
b^2-4 = Aと置き換えると、
= a^4-2Aa^2+A^2
= (a^2-A)^2
= (a^2-b^2+4)^2

よろしくお願いします。

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2018/08/12 21:41

(a^2-b^2)^2-8(a^2+b^2)+16

=a^4　-　2a^2b^2　+　b^4　-　8a^2　-　8b^2　+　16
=a^4　-　2a^2b^2　-　8a^2　+　b^4　-　8b^2　+　16　　　←　ここまでは合っています
=a^4　-　2(b^2+4)a^2　+　(b^4-8b^2+16)　　　←　-8a^2　を括る時に符号が間違ちがえ
=a^4　-　2(b^2+4)a^2　+　(b^2-4)^2　　　←　その為、最後の項の因数分解の仕方が違って、少し工夫が必要なる
=a^4　-　2(b^2-4))^2　+　((b-2)(b+2))^2　　　←　先に最後の項を因数分解して考える
=a^4　-　2(b^2-4))^2　+　((b-2)^2･(b+2)^2)
=(a^2　-　(b-2)^2)　･　(a^2　-　(b+2)^2)
=(a-b+2)(a+b-2)(a-b-2)(a+b+2)

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

符号の間違いについては理解しました。

ただし、それ以降の回答内容を理解することができませんでした。

具体的には下記の「2(b^2+4)a^2」が次の行で「2(b^2-4))^2」になっているところです。
> =a^4　-　2(b^2+4)a^2　+　(b^2-4)^2　　　←　その為、最後の項の因数分解の仕方が違って、少し工夫が必要なる
> =a^4　-　2(b^2-4))^2　+　((b-2)(b+2))^2　　　←　先に最後の項を因数分解して考える
1. +が-に変わるのは何故ですか？
2. aがなくなっているのは何故ですか？
3. (が1つに対し、)が2つになるのは何故ですか？

よろしくお願いします。

お礼日時：2018/08/12 22:22

No.2 回答者： むらさめ 回答日時： 2018/08/12 22:43

少し書き方が間違えていました。

=a^4　-　2(b^2+4)a^2　+　(b^2-4)^2　　　←　その為、最後の項の因数分解の仕方が違って、少し工夫が必要なる
=a^4　-　2(b^2+4)a^2　+　((b-2)(b+2))^2　　　←　aは書き間違いですね、先に最後の項を因数分解して考える
=a^4　-　2(b^2+4)a^2　+　((b-2)(b+2))^2　　　←　先に最後の項を因数分解して考える
=a^4　-　2(b^2+4)a^2　+　((b-2)^2･(b+2)^2)　←　最後の項を　(b-2)^2･(b+2)^2　と考えてたすき掛けで因数分解する

(b-2)^2=b^2-4b+4
(b+2)^2=b^2+4b+4　であるので真ん中の項のa^2の係数は　2(b^2+4)となるので、たすき掛けで下式のように因数分解できる

=(a^2　-　(b-2)^2)　･　(a^2　-　(b+2)^2)　←　これをさらに公式を使い因数分解する
=(a-b+2)(a+b-2)(a-b-2)(a+b+2)

複雑とまではいかないですけど、手順を踏まないと因数分解が難しい問題ですね

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ご回答いただいた内容をもとに私も計算してみたところ、答えにたどり着くことができるようになりました。

(a^2-b^2)^2-8(a^2+b^2)+16
= a^4-2a^2b^2+b^4-8a^2-8b^2+16
= a^4-2(b^2+4)a^2+(b^4-8b^2+16)
= a^4-2(b^2+4)a^2+(b^2-4)^2
= a^4-2(b^2+4)a^2+(b+2)^2(b-2)^2

定数項が2乗のため、展開する。
= a^4-2(b^2+4)a^2+(b^2+4b+4)(b^2-4b+4)

たすき掛け因数分解する。
= (a^2-(b^2+4b+4))(a^2-(b^2-4b+4))

= (a^2-(b+2)^2)(a^2-(b-2)^2)
= (a+b+2)(a-b-2)(a+b-2)(a-b+2)

このたびはどうもありがとうございました。

お礼日時：2018/08/13 11:11

No.3 ベストアンサー 回答者： afilter 回答日時： 2018/08/13 07:33

(a^2-b^2)^2-8(a^2+b^2)+16

=(a-b)^2(a+b)^2-4((a-b)^2+(a+b)^2)+16
=((a-b)^2-4)( (a+b)^2-4)
= (a−b+2) (a−b−2) (a+b+2) (a+b−2)
となります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ご回答いただいた内容をもとに私も計算してみたところ、-8(a^2+b^2)を-4((a-b)^2+(a+b)^2)にできれば、質問内容の私の計算方法より簡単に答えにたどり着くことができることがわかりました。

(a^2-b^2)^2-8(a^2+b^2)+16
= (a^2-b^2)(a^2-b^2)-4(2a^2+2b^2)+16
= (a+b)(a-b)(a+b)(a-b)-4((a+b)^2+(a-b)^2)+16
= (a+b)^2(a-b)^2-4((a+b)^2+(a-b)^2)+16
a+b = A、a-b = Bと置き換えると、
= A^2B^2-4(A^2+B^2)+16
= (A^2-4)(B^2-4)
= (A+2)(A-2)(B+2)(B-2)
= (a+b+2)(a+b-2)(a-b+2)(a-b-2)

このたびはどうもありがとうございました。

お礼日時：2018/08/13 11:32