高校物理電流が作る磁場から受ける磁極と透磁率

Question

rだけ離れた長さLの二本の直線電流I,I'にはたらく力は
F=(μ／2π)(II'/r)L…(1)
rだけ離れた2つの磁極m,m'にはたらく力は
F=(1/4πμ)(mm'/r^2)…(2)
直線電流Iからr離れた磁極mにはたらく力は
F=m(I/2πr)…(3)

(1)(2)は透磁率μが含まれているので、周りの気体や液体によって力が変化します。
一方(3)はμが含まれないので周りの気体や液体に無関係です。本当に無関係なのでしょうか？

実験結果によって無関係であるから電流が作る磁場はH=I/2πrと透磁率を含まない形で
定義されたのだろうと思いますが、(3)は透磁率を含まないことは数学的に証明できたりする
のでしょうか？

要するにどういう理屈で(3)は周りの空間の透磁率とは無関係なのかということを
教えていただきたいです。

d9win · Accepted Answer

またしてもしゃしゃり出ました。No.8への批判は御もっともです。
再考した結果、No.8を取り消さして頂きます。
これだけ訂正すると何の重みもありませんが、No.7の考え方は、"領域の一部にある物質(媒体)を挿入した状況"だけでなく、領域全体がある物質(媒体)で満たされている場合にも当てはまると考え直しました。すなわち、媒体からの影響が(重ね合わせの原理で)全体として相殺し合うことは、電界や磁界の発生源が何処にあっても変わりません。
このため「特定媒体中であっても、力は真空中においてもF= q E₀やF= m H₀で表される」ことになります。E₀とH₀は、媒体が存在しないとした状況(真空)での電界や磁界です。

例えばある媒体中の電界を示す式はE= q/(4π εr ε₀ r^2)と比誘電率εrを含みますが、そこに電荷q'を置いた場合の力はF= q' E₀ = q' q/(4π ε₀ r^2)とεrは含まない電界E₀を用いねばならないのです。磁荷m, 磁界Hそして透磁率μの関係も同じことが言えます。
すると今までの疑問は全て解消されるので、きっと正しいのであろうと納得できます。

言い訳がましくなりますが、教科書に書いてあることを知っていることは実効性のある力にはなりません。今回のような考え間違いを重ねないと本当に分かったことにならないのだと思います。お陰様で、勉強させて頂きました。
それにしても、どの教科書にも、電界の及ぼす力の定義としてF= q Eとしか書いていませんが、せめてF= q E₀と書いて欲しいですね。

endlessriver · Answer

1.
面白いので考えてみました。(1)(2)(3)とμの関係は式のまま素直に解釈すればよいと
思います。
(3)の場合はHの定義であり、(1)に適用して、H=m'/(4πμr²)となり、μによって、H
が変化しますが、Fも変化して、(3)ではHとFの関係はμに無関係となりす。

(2)の場合は、F=I×B⊿l ・・・①, rot B=μI' ・・・②　から来ていますので、①の
BをI'で表した場合、Fがμに比例することは自明です。
この場合、F=(μ/2π)(II'/r)L=(1/2πμ)(μI)(μI')/r)L と形式的に書けます。

つまり、力Fに対して電流Iは磁荷mよりμ倍の影響をもつことになります。

2.
なお、χmの定義は、はた迷惑なことに２種類混在しています。

3.
なお、B,Hの関係については色んなサイトで議論されたり、電磁気の書籍に記述され
ていますが納得出来たことはありません。Bの定義や測定方法は明確なのに、Hの記
述は途端に曖昧になります。

書籍にはB=μ₀H+Mとして、数式の記述はされていますが、Hがはっきりしないなら、
Mの定義や測定はどう決められているのか？あなたの掲げたEMAN氏の記述では
rot H=i や H=(1/4π)∫ids×r/|r|³　によって、Hが定義されているとしています。

これが一番簡明なのですが、そうだと明言している書籍は無いように思えます。元来、
物理の書籍は定義や理論構成がいい加減なのでこのような疑問がでる。たとえば、
電磁気学の書籍で原初である「電荷の定義という言葉」を見たことが無い（記述から
何をもって電荷を定義しているか自明なのだが）。

（独善的に）ハッキリ言えば、B,Hについてほとんどの人（教授？）が理解してい
ないと疑っています（だからあちこちで繰り返される曖昧な議論）。

ここは私にとって、電磁気学の最大のダークサイドです。今回の問題提起はまた一つ
私の疑問の参考になりました。

d9win · Answer

No.7回答では、磁界が存在する領域の一部にある物質(媒体)を挿入して、その中の電流経路なり磁荷が受ける力を考える際にはμ＝ μr μ₀は使えないと書きました。
しかしながら、以下の場合には、μ＝ μr μ₀を用いねばならないと補正します。

(1式)の2ヶの電流線路が同じ媒体中に存在する場合や(2式)の2ヶの磁荷が同じ媒体中に存在する場合には、μ₀でなくμr μ₀を使わねばならないと思います。
そして、あなたのF=m(I/2πr) (3式)はE-H対応の式で、E-B対応で表すと右辺にμが加わったF= μ m' (I/2πr)になります。この為、3式とも同じ力を現してます。
それは、E-H対応のF= m HとE-B対応のF= m' B= m' μHが等しいはずであることから判ると思います。
(これが、No.2回答で示した「E-H対応のmは、E-B対応ではμ₀mと表さねばならない」理由です。もっとも、申し訳ないことに、No.2回答途中の文では間違ってm/μ₀になると間違えて書いてます)

ただし、上記の説明は電界と誘電率に類似して考え得る状況に限られると予想します。すなわち、μrが1から少しずれた反磁性体(例えば水)や常磁性体(例えば空気やアルミニウム)では妥当でですが、μrが数百以上になる鉄のような強磁性体では意味のない議論になると思います。
(さらに、上記の議論が当てはまっても、磁荷は単独では存在できないので単体の磁荷mを扱う(3式)自体では意味を持たなくて、必ず+mと-mが対になった磁気能率に及ぼす回転力の要素になるだけです)

d9win · Answer

先のNo.2とNo.3回答は取り下げます。磁界や電界の物質中での基本な振る舞いを全く理解してませんでした。
にわか勉強の結果、質問者が疑われているように次式は(1式)や(2式)で使えないという判断に至りました。
μ＝ μr μ₀ （物質の透磁率＝比透磁率×真空の透磁率）

「(1式)と(2式)のμはμ₀と表さねばならない」と考えます。そうすれば、(1式), (2式), (3式)は何れも同じ力Fを示すことになります。
そのことを証明するには、本来、これらの式を導出する過程を遡らればなりませんが、磁界が及ぼす力は周りの媒体の透磁率μに依存しない(すなわち、媒体を取り去った状況における力と同じになる)ことが、以下に示すように原理的に言えると思います。

それは、誘電体中の電界が及ぼす力と同様の状況です。外部電界E₀が加わった時、誘電体内部の電界強度はE₀+(分極電界)になって、E₀よりも小さくなります。しかしながら、誘電体中の電荷qが受ける力はq E₀です。電荷qは、誘電体の分極によって生じる正電荷と負電荷からも力を受けますが、誘電体全体からの力をまとめると相殺されて0になるからです。
(ちなみに、誘電体両端の電位差は、その中の外部電界E₀の積分値です)
磁性体においては、内部の微細な円環電流(あるいスピン)が内部磁界の源となる訳ですが、それらが互いに相殺し合うことは同じであると考えます。媒体中の磁界強度は、媒体の比誘電率μrに応じて(鉄では)大きなり、(水では)小さくなりますが、その中の磁荷や電流線路は専ら外部磁界H₀に応じた力m H₀を受けると考えます。

μ＝ μr μ₀やε= εr ε₀の関係は、例えば磁性体や誘電体の内部における内部の磁界や電界を扱う際に必要になります。例えば、エネルギー密度μ H^2やε E^2を扱う場合です。一般的に、磁束B = μ Hや電束D = ε Eを扱う状況で使えば良いのだと思います。

なお、(1式)と(2式)の導出については、(私はフォローし切れませんでしたが)以下のサイトに詳しい説明があります。
FN高校の物理: 電磁気の単位が難しい理由
http://に続いて、
fnorio.com/0096Electromagnetic_unit_system1/Electromagnetic_unit_system1.html

lv4u · Answer

＞＞この事実が不思議で仕方ありません。自然現象だから理屈抜きで受け入れるしか
ないのでしょうか…

現代物理は、実験結果を理屈抜きで受け入れます。
だから「自然現象だから理屈抜きで受け入れろ！」ってことですね。

もし「理屈」を考えると、延々と議論が続いて研究が進まなくなってしまうから、ってことでしょう。
ただ、そういう研究姿勢ではなく、やはり「理屈」をじっくり考えることが、現代物理の前にある壁を破るきっかけになるのではないか？と思ったりします。

endlessriver · Answer

よくわからず回答してしまいました。物質中の磁化に働く力がどうなるかも
分かっていませんでした。F=mHは一般的な定義で
F=mH=m(B-M)/μ₀ となるのかもよくわかりせん。m(｡>__<｡)m

endlessriver · Answer

(3) は F=mHから来ていると思いますが、この式は真空中のHの定義です。
一般（物質中の）のHの定義は B=μ₀H+M です。

なお、E-B対応とE-H対応で物理法則が変わってはおかしいです。

d9win · Answer

まず、No.2回答の修正です。最後の方に
「磁束Bと磁界(磁場)Hの間にはB= μ0 Hの関係があるので、同じ力を表すのにE-H対応のmの代わりにE-B対応ではμ0 mとならねばなりません」と書きましたが、
正しくは「磁束Bと磁界(磁場)Hの間にはB= μ μ0 Hの関係があるので、同じ力を表すのにE-H対応のmの代わりにE-B対応ではμ μ0 mとならねばなりません」でした。

さて、電流IもE-H対応のmも周辺環境には依存しないので、(3式)は液体中でも成り立ちます。(例えば水の比透磁率が0.999992であるように磁性体以外ではμ=1と見なせますが、仮にμ>1の物質中でも成り立ちます)
２つ目の質問ですが、(2式)はE-H対応で表したもので、正しくは F=(1/4πμ0)(mm'/r^2)です。μ0は定数であるし、E-H対応で表す磁荷は(周辺環境には無関係の)固有値なので、Fは周辺環境に依存しません。(2式)をE-B対応で表すと F=(1/4πμ0)[(μ0 μ)^2 mm'/r^2)] = μ^2 (μ0/4π)(mm'/r^2)となってμ^2が現れるので、仰るように"磁荷の定義を変えた"だけでは同じ力になりません。すなわち、E-B対応では"磁荷に対するクーロンの法則"に当たる(2式)は"μ=1ではない空間では"成り立たないので、(2式)は使えないのです。ところが、E-H対応では"磁荷に対するクーロンの法則"が成り立ちます。
E-B対応で力Fを計算するには電流が生じる磁束密度Bを計算してF= m Bから力を求めねばなりませんが、その計算は通常複雑です。ところが、電磁石や変圧器では磁荷とそのクーロンの法則を使うと簡単になる場合が多いのです。それが、No.2回答で"電磁石や変圧器を考える時には、磁荷が存在すると仮定した方が便利"と言った意味です。

d9win · Answer

この問題では2点注意せねばなりません。
(A.)透磁率μの扱い.
(B.)磁荷mの扱い.
まず、(A.)ですが、あなたのどの式の透磁率μも正確にはμ・μ0と表さねばなりません。μ0は"真空の透磁率"で、μは比透磁率です。μは空間に存在する物体に依存しますが、鉄のような磁性体以外は1と近似できます。このため、通常の教科書にはμ0だけが現れます。このμ0は(1Aの電流値を定義するために人為的に定めた)定数に過ぎず、測定値ではありません。
(B.)の磁荷mの扱いは微妙です。なぜなら、磁荷は現実には存在しないからです。しかしながら電磁石や変圧器を考える時には、それが存在すると仮定した方が便利なので使われています。すなわち、磁界(磁場)Hには実体がなく、磁性体を扱う時に使用する便利なパラメータであると解釈されています。この磁荷は存在しないとする考え方の電磁気の単位系がE-B対応で、現在の主流です。磁界(磁場)HはH=B/μ0の意味しか持ちません。
一方、磁荷が存在するとしても矛盾ない単位系を考えることが出来ます。これがE-H対応の単位系です。これらの対応では磁荷の表し方が異なって、E-H対応でmならば、E-B対応ではm/μ0になります。
ちなみに、あなたの(2式)はE-H対応の単位系の表示です。E-B対応で表すと(μ0が分母から分子に移って) F=(μ0/4π)(mm'/r^2)になります。
(1式)はmを含まないので、どちらの対応でも同じになります。
また、(3式)も変わりません。本来、(3式)は磁荷mが存在するとするE-H対応しか意味を有しない式です。ただ、E-B対応でも力は同じ値とならねばなりません。そして、磁束Bと磁界(磁場)Hの間にはB= μ0 Hの関係があるので、同じ力を表すのにE-H対応のmの代わりにE-B対応ではμ0 mとならねばなりません。(3式)はE-B対応における実際には存在しない仮想磁荷を定義する式なのだと、私は考えます。

lv4u · Answer

＞＞要するにどういう理屈で(3)は周りの空間の透磁率とは無関係なのかということを
教えていただきたいです。

透磁率は無視した式ってことでいいのでは？

高校物理 電流が作る磁場から受ける磁極と透磁率

またしてもしゃしゃり出ました。

1.

No.7回答では、磁界が存在する領域の一部にある物質(媒体)を挿入して、その中の電流経路なり磁荷が受ける力を考える際にはμ＝ μr μ₀は使えないと書きました。

先のNo.2とNo.3回答は取り下げます。

＞＞この事実が不思議で仕方ありません。

よくわからず回答してしまいました。

(3) は F=mHから来ていると思いますが、この式は真空中のHの定義です。

まず、No.2回答の修正です。

この問題では2点注意せねばなりません。

＞＞要するにどういう理屈で(3)は周りの空間の透磁率とは無関係なのかということを

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