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No.7
- 回答日時:
質問の中には書いて有りませんが、図は幾何べクトルを成分で「定義」
することを意図しています。図はまたベクトル和が個々の成分和になることを
示しているので、この定義と結論に問題があるとは思えません。
この図の考え方で表せない成分表示の幾何べクトルが存在すると
思えるならそれを明確に示せる筈です。是非示して下さい。
たった一つでよいのですよ。思っているだけでは何も始まりません。単なる妄想です。
私には有るように思えません。
No.6
- 回答日時:
ご質問の添付画像にある図は、話の理解を助けるためのただのマンガですから、一切無視です。
肝腎なのはご質問の添付画像にある文章だけです。さて、もしこの文章が証明になっているのであれば、それが証明になるような「ベクトルの和の定義」がどこかに書いてある筈でしょう。定義したら、それがどんなに珍奇な定義であれ、定義は定義です。以後、それだけで行く。
なので、まずは定義を持ってこなくちゃ話が始まりません。そして、「定義に照らして、この文章は証明になっているのかどうか」ということだけを考えるんです。
============================
以下余談です。質問者氏のセンスが結構良さそうだから、もしかしたら理解出来るかもしれないなと思い、付けておきます。
普通は、ベクトルの和は(平面幾何学を使ってではなく)成分を使って定義します。(むしろ、平面幾何学がベクトルで定義されるのです。)ベクトルの足し算の演算を、普通の足し算と区別するために、以下では◯と書く事にします。
aの第k成分を取り出したものを a[k]のように書く事にして、
c[k] = a[k] + b[k]
が k=1,2,…, Nのすべてについて成り立つとき、その時に限り、ベクトルの足し算◯は
a◯b = c
である。
とすれば定義っぽくみえますけれども、これだけでは、a[k] + b[k]の所に出て来る+がどういう演算なのかが分かりません。実際、たとえば 「a[k]とb[k]は「実数から正の実数への関数(たとえば(x^6 + 1)とか)であり、a[k] + b[k]とは b[k](x)/a[k](x)という関数のことだ」というのでも良い。もちろん、この場合、交換法則や結合法則なんてものは成り立ちません。
「どの成分も実数であるN次元ベクトルの集合V」というものを考えた上で、
Vの要素であるa,b,cについて
c[k] = a[k] + b[k]
が k=1,2,…, Nのすべてについて成り立つとき、その時に限り
a◯b = c
である。ただし、 a[k] + b[k]の+は実数の足し算のことである。
と定義すれば、ようやくご質問の話になる。で、この定義のもとでなら、交換法則と結合法則の証明はいとも簡単です。これは成分である実数について、実数の足し算が交換法則と結合法則を満たすおかげですね。(上記のひねくれた例ではこれが満たされないから、交換法則も結合法則も成り立たなかった訳です。)
ということは、話を実数に限らなくても
「どの成分も集合Aの要素であるN次元ベクトルの集合V」というものを考えた上で、
Vの要素であるa,b,cについて
c[k] = a[k] + b[k]
が k=1,2,…, Nのすべてについて成り立つとき、その時に限り、Vの足し算は
a◯b = c
である。ただし、 a[k] + b[k]の+はAの足し算のことである。
と定義すると、
もしAの足し算+がAについて閉じていて交換法則と結合法則を満たすならば、Vの足し算◯もVについて閉じていて交換法則と結合法則を満たす
という定理が証明できる。Aが何らかの数である必要もありません。(なお、「Aについて閉じていて」というのは、足し算+の答は必ずAの要素になる、という意味です。)
こういう風に一般化して考えるのが、数学の醍醐味のひとつです。
No.5
- 回答日時:
あなたの疑問はもっともです。
こんなのは証明ではありません。
自然数の加法が可換であること(a+b=b+a)を
3+5は8で5+3も8だから証明完了
と言っているのと同じです。
どれ程具体例を列挙しても証明にはなりません。
この証明には「ベクトルとはなにか」、「ベクトルの和とは何か」を数学的に定義することが必要ですが高校では教わりません。
No.3
- 回答日時:
No.2です。
> この図でない場合です
「この図」は、aバーとbバーが図表示示されており、
この表示をもとにこの合成を求める説明となっています。
あるベクトルの表記方法はいくつもあります。
二つのベクトル合成の結果を求める例においては、
表記方法に応じて説明は違えども、結果は同じです。
結果が違ったら、間違えています。
No.2
- 回答日時:
No.1です。
> 結果が1つである事を証明するにはどうしたら良いですか?
そういうことではなく、
あなたは、
「全ての場合において成り立つ事を示しているわけではない」
と言っておられるので、まずは、
「これに当てはまらない場合とは、何が考えられますか?」
に答えてください。
質問をはぐらかして、ほかの視点に誘導する行為は、慎むべきです。
数学は、たった一つしかない結果を求めることが使命です。
相対論は、先の成果である運動力学までも同じ帰結になると、
正しさを証明しています。
ご参考まで。
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