1辺の長さが4の正四面体OABCがある。 辺OA上でOL=LAを満たす点をL、辺OB上でOM=3MB

1辺の長さが4の正四面体OABCがある。
辺OA上でOL=LAを満たす点をL、辺OB上でOM=3MBを満たす点をM、辺OC上で3ON=NCを満たす点をNとするとき、次の値を求めなさい。

1.LM、MN、NLの長さ

2.cos∠LMN

3.sin∠LMN

4.三角形LMNの面積

答えは

1.LM=7 MN=7 NL=3
2.14分の1
3.14分の5ルート３
4.4分の5ルート３

解き方を教えて頂きたいです

No.2 回答者： 20170130 回答日時： 2018/08/24 11:22

1.

ベクトルを使った解法
OA=4a、OB=4b、OC=4c とおくと
（a,b,c は単位ベクトル、相互の内積=cos60=1/2)
OL,OM,ONがa,b,c で表せる
LM,MN,NLがa,b,cで表せる
LMの2乗=LMとLMの内積 がa,b,cの内積（の和）として表せて計算できる

2.
1.からの流れで内積を考えても計算可能
3辺の長さが分かっているので余弦定理を使う方が楽かも

3.
sin^2=1-cos^2

4.
2辺の長さをs,t 間の角をθとして
面積は　(1/2)*s*t*sinθ

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/08/23 23:12

図を描いて正弦定理や余弦定理を駆使する.