中学生でならう数学の問題です！多分、 私立の過去問にこのような問題があったのですが、解説がのってない

中学生でならう数学の問題です！多分、
私立の過去問にこのような問題があったのですが、解説がのってないので、(3)、さっぱりわからないです。 これと似た問題を前やったような気もするのですが、いつどの問題集に載っていたか思い出せなくて…。忘れてしまってます。
こんな感じのPのx座標を求めなさいみたいな問題って、どうやって解けばいいのでしょうか？解き方はワンパターン？？
思い出せなくてもやもやします。
教えてください！

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/10/08 10:31

工夫してできるだけ簡単に計算できるようにします。

２つの三角形の面積問題では、底辺が共通
または、高さが共通、と言う状況を使うのが定番です。
本問は下図のように黄色線を底辺、紫と緑線を高さとみなすと良さそう。
そこで、図のように紫線の足をG,緑線の足をH、PBとｙ軸の交点をIとします。
また、PG=g ,BH=h,OI=Y ,CI=yとします
すると、
△OBP=△OBI+△OPI
＝(1/2)xOIxBH+(1/2)xOIXPG
=(1/2)Yh+(1/2)Yg
=(1/2)Y(h+g)
=(1/2)(h+g)Y
=(1/2)(緑線+紫線)x底辺OI

△BCP=△CBI+△CPI
=(1/2)xCIxBH+(1/2)xCIXPG
=(1/2)yh+(1/2)yg
=(1/2)y(h+g)
=(1/2)(h+g)ｙ
=(1/2)(緑線+紫線)x底辺CI

この２つの三角形の面積を表す式を見て分かるとおり
(1/2)(緑線+紫線)までは共通で、違うのは底辺の長さだけです。
従って、△OBPの面積が△BCPの3倍なら
　　　　　底辺OI　　が　底辺CIの3倍　
という事が言えます。
このとき、OC=4だからIC=2です。
（OI=3CI⇔y+OC=3y⇔y+4=3yだからy=2)
よってIの座標が(0,6)と分かります。

（２）よりB(4,8)なら　直線BIの式は
傾き＝yの増加量/xの増加量=(8-6)/(4-0)=1/2
切片6だから
y=(1/2)x+6・・①
直線BIと放物線y=(1/2)x²・・・②の交点がPなので
①②の連立方程式をといてその交点の座標を求めると
①を②に代入
(1/2)x+6=(1/2)x²
⇔)x²-x-12=0
⇔(x-4)(x+3)=0
ｘ=-3,4
x=4はBの座標だから
Pのx座標はx=-3
②に代入してy=9/2
ゆえに、P(-3,9/2)
このような考え方が一例です\^^

この回答へのお礼

なるほど！図までありがとうございます。底辺が三倍なんですね！覚えておきます。こんな式がたてられるようがんばりますね！

お礼日時：2018/10/08 22:22

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/10/08 10:38

#4訂正

CI=yと置きましたが、y'の間違いです
CI=y'と思って　解答４を見てくださいませ。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/10/08 09:56

pの座標を(x、(1/2)x^2)とすると

https://math.nakaken88.com/textbook/expert-area- …
を使って、x<-2では
BCPの面積=|{4・((1/2)x^2-4)-4x}/2|=x^2-2x-8
△OBPの面積=|{4・((1/2)x^2)-8x}/2|=x^2-4x
△0BPの面積=△BCPの面積×3なので
x^2-4x=3(x^2-2x-8)
→2x^2-2x-24=0→x^2-x-12=0→x=-3

この回答へのお礼

その式を使うのですね。覚えるのが大変そうですが頑張ります！

お礼日時：2018/10/08 22:19

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2018/10/08 08:45

点Ｐの座標が分からない時は、仮に点Ｐ（ｘ₀、１/2＊ｘ₀²）、（但しｘ₀＜－２）と置く癖をつけて下さい。

そうすれば、点Ｐと点Ｂを結ぶ直線の式は、ｙ＝１/2＊（ｘ₀＋４）ｘ－２ｘ₀です。この直線とｙ軸の交点は
－２ｘ₀（切片）になります。すると、ΔＯＢＰの面積は底辺が－２ｘ₀で高さｘ₀と高さ４の２つの三角形の面積の和です。１/2|-2ｘ₀｜｜ｘ₀｜＝１/2（-2ｘ₀）（－ｘ₀）＝ｘ₀²、もう一つは１/2|-2ｘ₀｜４＝ー４ｘ₀
合計ｘ₀²－４ｘ₀（ｘ₀は負の値なので絶対値を外す時は正にするためにマイナスを付けます。-2ｘ₀のように既にに正になっていればそのままです。）
ΔＢＣＰの面積は底辺が－２ｘ₀－４で高さｘ₀と高さ４の２つの三角形の面積の和です。１/2|-2ｘ₀－４｜｜ｘ₀｜＝１/2（-2ｘ₀－４）（－ｘ₀）＝ｘ₀²＋２ｘ₀、もう一つは１/2|-2ｘ₀－４｜４＝ー４ｘ₀ー８
合計ｘ₀²－２ｘ₀ー８
題意より
ｘ₀²－４ｘ₀＝３（ｘ₀²－２ｘ₀ー８）
２ｘ₀²－２ｘ₀－２４＝０⇒ｘ₀²－ｘ₀－１２＝０⇒（ｘ₀－４）（ｘ₀＋３）＝０から
ｘ₀＝－３、４（ｘ₀＜－２）よりｘ₀＝－３、この時ｙ₀＝１/2＊ｘ₀²＝９/2
よって、条件を満たす点Ｐの座標は（－３、９/2）
です。

この回答へのお礼

あっ、やっぱり仮に置いていいんですね。ただそこからの式が作れませんでした。すらすらと解けるように頑張ります！

お礼日時：2018/10/08 22:17

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/10/08 08:32

こういうの知っていれば簡単ですが・・・

https://math.nakaken88.com/textbook/expert-area- …

最近は高校でさえ外積やらないそうなので

中学なら、三角形の面積は、外接する四角形の面積から、3個の直角三角形の
面積を引くのでしょうね。めんどくさ。

この回答へのお礼

見、見たことがない式が書かれていてびっくりです(ﾟAﾟ;)
その方法をマスターすれば確かにささっと解けそうですね！
参考になります。ありがとうございます！

お礼日時：2018/10/08 22:12