竿（L＝２ｍ）の両端に質量ｍ１とｍ２を取り付けた時の周期

質量のない２ｍの竿の両端にｍ１とｍ２の質量を取り付け、中央を支点とします。
この装置の２階の微分方程式の数値解をグラフに求めました。
ｍ１とｍ２の差が１ｋｇの場合のは、周期Tは約５秒前後になります。
より正確には、
ｍ１：２ｋｇとｍ２：１ｋｇの場合はT=約４．５秒
３ｋｇと２ｋｇの場合はT=約５秒
４ｋｇと３ｋｇの場合はT=約５．５秒

尚、ｍ１単体の場合は、つまりｍ２＝０の場合は、公式通りT＝２秒となります。
T=２π（L/g）＾０．５＝２π（１/９．８）＾０．５＝２

Q1)上記の数値解のT=約５秒等は正しいでしょうか？どうでしょうか？
例えば、２秒となる筈だとか

以上、宜しくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2018/10/08 16:53

>Tを計算しました所下記となり、T=８秒をなりました。

各パラメータにどのような値を代入したのか分かりませんが、
>T=２π（L/g）＾０．５＝２π（１/９．８）＾０．５＝２
これの((m1+m2)/(m1-m2))^0.5倍なので、例えばm1=2 kg, m2=1 kgの場合を考えているであれば√3倍の3.5秒くらいになるはずです。


>Q2)振れ幅が微小とは、どれくらいでしょうか？
単振り子の周期が
>T=２π（L/g）＾０．５
になるという導出の過程では、sinθ≒θとし単振動で近似していますので、この近似が有効である時です。
どの程度のずれを許容するかは、考えたい精度によって変わり得るので一概には言えません。

まぁ、θ^2/6が0.1を超える (θが45°くらいを超える）ようだと微小とはほとんどの場合に微小とは言えないでしょうし、
θ^2/6が0.01を超えない（θが15°くらいを超えない）のであれば現実的には微小といっていいことが多いのでは。



>なお、私は９０度でやりました
「単振り子　厳密解」などで検索すると、いろいろ情報が出てくるかと思いますが、
最大の振れ幅が９０°であるのなら、周期は単振動だと思った時の1.2倍くらいになるようです。

冒頭の質問に
>尚、ｍ１単体の場合は、つまりｍ２＝０の場合は、公式通りT＝２秒となります。
とありますが、正しく単振り子の周期が計算できているのであれば、２．４秒前後になるべきで、「（単振動の）公式通り」になったのはむしろ正しくありません。（０．４秒の差を気にしていないという事なのかもしれませんが）
「m2=０の場合と比べると、周期が((m1+m2)/(m1-m2))^0.5倍になる」という部分に振れ幅は関係ないので、最大の振れ幅を90°で考えたのなら、この２．４秒の((m1+m2)/(m1-m2))^0.5倍になるかな。

この回答へのお礼

Octaveの計算環境（シミレーション）
でTの計算していますので、m2=0でやり、８が出たと思います。
確認のためm1 = 2、m2 = 1では下記となりました。
>> m1 m1 = 2
>> m2 m2 = 1
>> T=2*pi*(L*(m1+m2)/g*(m1-m2))^0.5 T = 3.4764
グラフの角度曲線を適当に読んでいますので下記は誤差が大きと
思います。
m1 = 2、m2 = 1では、T=約4.5
m1 = 3、m2 = 2では、T=約5
m1 = 4、m2 = 3では、T=約5.5
今回の質問の目的は、２階の微分方程式が正しいか否かでした。
%==================================
% m1*L^2*dxdt(2,Θ) + m2*L^2*dxdt(2, Θ+angle)=(-c*dxdt(1)+( -m1Lg*sin(Θ)-m2Lg*sin(Θ+angle))
% (m1+m2)*L^2*dxdt(2,Θ) =(-c*dxdt(1)+(-sm1Lg*sin(Θ)-m2Lg*sin(Θ+angle))
感じで、微分方程式を作成、最終的にODE45には、数値解を求めています。
===================
function dx = f_pendulumA(t,x,L, g, m1, m2, c, N,D)
%L:竿の長さの半分
%g:重力加速度
%m1:x軸の右側の質量
%m2:x軸の左側の質量
%c=0.05:摩擦係数
%N,D=8 竿は中央で曲なし、πの１８０度
%angle=pi*N/D; %竿の曲がり
ml2=(m1+m2)*L^2;
dx(1) = x(2); %角速度、x(1)：
angle=pi*N/D; %竿の曲

dx(2) = ( -c*x(2)+(-m1*L*g*sin(x(1))-m2*L*g*sin(x(1)+angle)) )/ml2;
end
===================
最終目標は、地球ゴマが床に平行に歳差運動をして、重心に
ｇが懸かりますが、水平を保ちます。
初速ゼロから始まり、所定の速度に達しますが、その動作を
微分方程式で記述したいわけです。
以上、また別途この件の質問があれば、お教え頂けないでしょうか？

お礼日時：2018/10/08 18:48

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2018/10/08 13:39

重りm、長さL、重力加速度gの単振り子から、

m→m1+m2
L→L
g→(m1-m2)/(m1+m2) g
と置き換えたものがお考えの系に対応する事になっていると思うので、振れ幅が微小のときの周期は
T=2π(L(m1+m2)/g(m1-m2))^0.5
になるかと思いますので、お示しの計算結果はずれていそうですね。
微小でないのなら振れ幅で考えていたら上の式からずれるのでそのせいでかもしれませんが。

この回答へのお礼

お世話になります。
Tを計算しました所下記となり、T=８秒をなりました。
Q2)振れ幅が微小とは、どれくらいでしょうか？
お教え頂ければやって見たいと思います。
なお、私は９０度でやりました。
>> T=2*pi*(L*(m1+m2)/g*(m1-m2))^0.5
T = 8.02835969261797e+00

お手数ですが宜しくお願いします。

お礼日時：2018/10/08 14:02

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/08 12:38

両端に取り付ける質量によって「回転運動の慣性モーメント」が変わるので、角加速度が変わります。

質量差による「トルク」が同じでも、「慣性モーメント」が異なれば「回転運動のしかた」要するに「角加速度」は異なります。

「慣性モーメント」はご存じですよね？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7 …
http://www.buturigaku.net/main01/RigidBody/Rigid …
https://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support …