ベクトルの一次結合

ベクトルＡ、Ｂ、Ｃ、ＤがＲ上一次独立のとき、α＝3Ｂ+Ｃ+Ｄ、β＝3Ａ+2Ｂ+2Ｄ、γ＝9Ａ-2Ｃ+4Ｄ、δ＝-3Ａ+Ｂ+Ｃ-Ｄとおく。αとβはＲ上一次独立か？またα、β、γはＲ上一次独立か？

図書館のある本の問題をやっているのですが、答えがなくて、どのように解くのか見当が付きません。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/11/15 21:51

一次独立とは１次式が０、すなわち

ｐＡ＋ｑＢ＋ｒＣ＋ｓＤ＝０ベクトル

のとき係数がすべて０（ｐ＝ｑ＝ｒ＝ｓ＝０）になる（そのときに限る）こと。

そこで
ｍα＋ｎβ
＝３ｎＡ＋（３ｍ＋２ｎ）Ｂ＋ｍＣ＋（ｍ＋２ｎ）Ｄ＝０

と置くと

３ｎ＝０，３ｍ＋２ｎ＝０，ｍ＝０，ｍ＋２ｎ＝０
よってｍ＝ｎ＝０

だからαとβは一次独立

α，β，γについても
ｍα＋ｎβ＋Ｌγ＝０
と置いたときｍ＝０，ｎ＝０，Ｌ＝０が言えれば一次独立、言えなければ一次従属

No.1 回答者： funifuni11 回答日時： 2004/11/15 21:35

一次独立というのは、

一次結合の形でお互いを表すことができるか、ということです。
一次結合ってのは、ax+byみたいなかたちのことで、
定数倍して足し算したものですね。


αとβが一次独立でないとき、
というのは、スカラー倍で表される時のことで、
つまりα=kβ (kは実数)
となる場合です。
A,B,C,Dが一次独立なのですから、
α=kβとは表せませんね。
というわけで、αとβが一次独立です。

α、β、γについては、
γ=pα+qβ
の形で表すことができるか、
ということを考えればいいわけです。
計算してみれば分かりますが、
p=-2, q=3のときに、
γ=pα+qβとなりますので、
α、β、γは一次独立ではない、ということになります。