質点が曲線 C:r(t)＝(sint,cost,0) t:0→π に沿って運動するときR^3上のC^

質点が曲線
C:r(t)＝(sint,cost,0) t:0→π
に沿って運動するときR^3上のC^1関数Φ(x,y,z)＝xyzによって定められる力の場A＝(-Φx(x,y,z),-Φy(x,y,z),-Φz(x,y,z))のする仕事を求む。またCにほかのパラメタを導入し力の場Aのする仕事を求む。

という問題なんですが最初から躓いてしまって困っています、、解法を教えて欲しいです。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/12 06:33

>またCにほかのパラメタを導入し力の場Aのする仕事を求む。

こっちですが、質点の始点と終点の位置さえ解れば
どんな関数でもエネルギー差は計算出来ます。
好きにやって下さい。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/01/12 06:25

Φは位置エネルギー(ポテンシャル)、Aはその保存カですから

t=0とt=πでの位置エネルギーの差
-(Φ(π)―φ(0))
が答え。計算するまでもなく、0ですね。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2019/01/10 14:52

それぞれの用語の意味をわかってますか、というだけの問題です。

わかってさえいれば、こんなの瞬殺。バカみたいに簡単で、計算も要らない。逆に言えば、勉強を丸々サボってた奴だけが「解法」に悩むというわけ。

　点Cの軌道が極座標(パラメタ(媒介変数) t)で表してあるけれども、要するに点Cは平面 z=0 上の単位円に沿って動く。（これがわからんようなら大変です。中学校？あたりのレベルから復習しないとな。）
　次に、"Φx"は「ポテンシャル関数 Φ を x で偏微分したもの」のことであり、(偏微分はできますかね？)
　　A = -(Φx,Φy,Φz) = -(∂Φ/∂x,∂Φ/∂y,∂Φ/∂z) =-(yz, xz, xy)
なので、z=0の平面上では、力のベクトルは
　　A =(0, 0, -xy)
である。ってことは、z=0の平面上では力Aはz軸と平行である。（x成分,y成分がどっちも0だからです。これがわからんのなら大変(以下略)）
　一方、仕事ってのは力のベクトルAと軌道上の微小線素のベクトルdsとの内積の積分
　　∫ (A・ds)
に他ならない。
　さて、力Aはz軸と平行である。そして（Cが平面z=0上だけを動くのだから）線素dsは平面 z=0 上にある。なので、Aとdsはいつも直交している。（ということがわから(以下略)）直交しているということは、内積は0だということです。（ということが(以下略)）なので、積分も0。

　…という計算をわざわざやらなくても、「Cの軌道上でポテンシャル関数 Φ=xyz が一定(この問題の場合には0)」なのだから、仕事が0になるのは当然です。

　なお、「Cにほかのパラメタを導入し」というのはずいぶん曖昧な文言ですが、Cの軌道を表すのにパラメタをtからたとえば2tとかxとかに変えたって、Cの軌道そのものが変わるわけじゃないんだから、話が同じなのはあまりにも当たり前。
　なのでもしかすると、この問題が瞬殺できる人に対しては、「Cにほかのパラメタを導入し」をもうちょっと実のある内容だと解釈して、Cの軌道を何か別のものに変えたらどうなるかを考えてみろ、ということを求めているんでしょうかね。なお、「出発点と到着点を指定すれば、途中の経路がどうあれ仕事は同じだ」ということがポテンシャル場の一番のミソですから、優等生ならその証明を書いて満点を貰うだろうと思います。